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来源:一起赢论文网     日期:2021-05-12     浏览数:1293     【 字体:

  Performance Investigation on Elevation Cascaded Digital Beamformingfor Multidimensional Waveform Encoding SAR ImagingHE Feng*      ZHANG Yongsheng      SUN Zaoyu      JIN Guanghu      DONG Zhen*(College of Electronic Science and Technology, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)Abstract: An important issue in a Synthetic Aperture Radar (SAR) system employing Multidimensional Wave-form Encoding (MWE) is the fulfillments of Digital BeamForming (DBF) on receive in elevation for a reliableseparation of the mutually overlapped echoes from multiple transmit waveforms. In this paper, the perfor-mance of a separation approach employing hybrid DBF in elevation by combining the onboard real-time beam-steering and a posteriori null-steering DBF on the ground is elaborately investigated. As a cascaded structurewhich comprises two subsequent DBF networks, the onboard part effectuates the steering of the mainlobeswithin multiple partitioned groups of antenna elements to ensure sufficient signal receive gain over the wholeswath; the a posteriori adaptive DBF network on the ground mainly performs the task of placing nulls to can-cel the range interference from other transmit waveforms, which enables adaptive beamforming to avoid the to-pographic height variation problem. Two type of onboard realtime beamformers are investigated, depending onthe utilization of the transmit waveform structure information or not. The performance of the hybrid DBF ap-proach is theoretically analyzed and evaluated in simulation experiment. It is shown that the hybrid DBF ap-proach can provide additional dimensions of the trade-space to optimize the performance on range ambiguitysuppression and signal-to-noise ratio improvement, as well as the onboard data volume reduction. In comparisonwith the a posteriori DBF on the ground, employing the hybrid DBF networks can get satisfactory perfor-mance while remarkably reducing the output data volume, in the presented example, the corresponding outputchannel number is decreased from 10 to 6.Key words: Digital BeamForming (DBF); Multidimensional Waveform Encoding (MWE); Multiple-Input Mul-tiple-Output (MIMO); Synthetic Aperture Radar (SAR); Range ambiguityDOI: 10.12000/JR20107Reference format: HE Feng, ZHANG Yongsheng, SUN Zaoyu, et al. Performance investigation on elevationcascaded digital beamforming for multidimensional waveform encoding SAR imaging[J]. Journal of Radars,2020, 9(5): 828855. DOI: 10.12000/JR20107.引用格式:何峰张永胜孙造宇多维波形编码SAR俯仰向级联DBF成像性能分析[J]. 雷达学报, 2020, 9(5):828855. DOI: 10.12000/JR20107.多维波形编码SAR俯仰向级联DBF成像性能分析何  *      张永胜      孙造宇      金光虎        *(国防科技大学电子科学学院   长沙   410073)   要:在采用多维波形编码(MWE)技术的新体制合成孔径雷达(SAR)系统中,利用俯仰向的数字波束形成(DBF)来实现多个发射波形重叠回波的可靠分离是一个关键问题。该文详细研究了星上实时波束控制与地面后置零陷控制相结合的混合俯仰向DBF分离方法的成像性能问题。 作为一种包括星地两级DBF网络的级联结构,其中的星上部分通过在划分的多个天线子孔径上实现实时主瓣波束指向控制,确保在整个测绘上足够的信号接收增益而后置自适应DBF网络主要完成零陷抑制的任务,以消除其它发射波形带来的距离向干扰,可自适应于地形高度起伏变化带来的视角变化。根据对发射波形时频结构先验信息的利用情况,提出了两种星上实时波束形成器  Manuscript received July 23, 2020; Revised September 28, 2020; Published online October 16, 2020.*Communication author: HE Feng; DONG ZhenE-mail: hefeng@nudt.edu.cn; dongzhen@nudt.edu.cnFoundation Item: The National Natural Science Foundation of China (61771478)Corresponding Editor: WANG Yanfei9卷第5期 雷      Vol. 9No. 5202010Journal of Radars Oct. 2020的实现方式。对混合DBF方法下的成像信噪比和模糊度性能进行了理论建模与仿真实验评估。实验结果表明,混合DBF方法可以为优化图像模糊度和信噪比性能提供额外的设计自由度,并降低星上数据通道数目。与纯地面DBF网络相比,采用混合DBF网络可以在显著减少星上输出数据量的同时获得满意的性能,在给出的实例中,实现相近性能的条件下,相应的星上数据通道数从10个减少到6个。关键词:数字波束形成;多维波形编码;多发多收;合成孔径雷达;距离模糊中图分类号:TN929.5 文献标识码:A 文章编号:2095-283X(2020)05-0828-28 1    IntroductionSynthetic Aperture Radar (SAR) is a well-proven imaging technique for remote sensing[1].However, conventional spaceborne SAR systemsare not capable of fulfilling the increasing de-mands for improved spatial resolution and widerswath coverage, due to the inherent limitation im-posed by range and azimuth ambiguities[13]. Thismotivated the development of new radar tech-niques to overcome the classical limitation. Apromising technique among them is Digital Beam-Forming (DBF) on receive[2,3], where the receiveantenna is split into multiple subapertures in azi-muth direction. The additional information filledin the data space collected by these receive aper-tures will be used to reconstruct unambiguousSAR signal without a reduction of the imagedarea.As a natural and important complement toDBF on receive, the innovative concept of Multi-dimensional Waveform Encoding (MWE) ontransmit was advocated[411]. MWE is a new digitalbeamforming technique on transmit utilizing mul-tiple transmitters, which is closely tied up withthe concept of Multiple-InputMultiple-Output(MIMO) SAR[917]. In combination with 2-dimen-sional DBF on receive with multiple receivers, amulti-transmit and multi-receive architecture,also known as MIMO, is formed which employs anovel fully active DBF technique utilizing the fullarea of the same antenna aperture for both trans-mission and reception with a wide scene illumina-tion[4,11].One of the innovative characteristics of themultichannel receiver in MWE-SAR system isthat besides the Degrees Of Freedom (DOF)provided by multiple channels in azimuth dimen-sion, there are also additional DOFs provided bymultiple elevation channels[11]. The additionalDOFs in elevation then can be exploited with theMWE technique to realize waveform diversity inspace-time domain and collecting more new in-formation about the object space. Therefore,MWE SARs are promising for HRWS imaging oreven fully polarimetric SAR with HRWS imagingability[4,1116,18]. Another major benefit of multiplesubapertures in elevation is the ability to in-crease the receive power, like the case of DBF-SAR system[1922].An important issue in a MWE-SAR system isthe fulfillment of DBF on receive in elevation fora reliable separation of the mutually overlappedechoes from different transmit waveforms, accor-ding to their different Directions Of Arrival(DOA)[512] at the same arrival instant. InRef. [6,7], a new separation approach for MWESAR was suggested, implemented by an onboardAdvanced Null-Steering (ANS) beamformer. Byusing the multi-channel data collected by all an-tenna elements/subapertures from the full an-tenna area in elevation dimension, multiple real-time narrow receive beams with well-designednulls are formed in parallel on the satellite. Eachreceive beam is responsible to separate one of thetransmit waveform echo: it not only tracks echofrom one transmit waveform as it travels on theground by directing the high-gain beam to thevarying direction of the echo arrival, but alsototally rejects interferences from other directionscorresponding to the rest of transmit waveformechoes by time-varying null steering. In the bestscenario, the onboard ANS beamformer couldachieve the goal of echo separation satisfactorily:it receives echo from one transmit waveform withhigh receive gain due to the full receive aperturein elevation (in analogy to the onboard DBF pro-cess called scanning on receive, i.e. SCORE[21,22]for a DBF-SAR system), as well as deeply sup-No. 5 HE  Feng et al.: Performance Investigation on Elevation Cascaded Digital Beamforming for ... 829presses echoes from all other transmit waveforms.In the meantime, the huge data volume beforebeamforming, which is multiplied by the largenumber of receive elements/channels in elevation,is maximally reduced[7]: the output channel num-ber in elevation after the onboard real-time DBFis only the number of transmit waveforms.However, due to the limited digital resources on-board the satellite, the real-time beamformer isnormally a deterministic one (non-adaptivebeam/null steering) for the non-range-com-pressed raw data and the expected ideal perfor-mance could be largely deteriorated.The principle problem of this full real-timedeterministic DBF process is caused by the varia-tion of topographic height[4]. The time-varyingsteering angle is normally pre-determined using asimplified Earth geometric model, e.g. an ellip-soid Earth model[4,6,7], or further modified accor-ding to the local average topographic height.However, under model-mismatch conditions inpresence of topographic height variations, erro-neous steering of the full-aperture focused sharpmain beam and deep nulls will result in a re-duced signal gain and insufficient interferencesuppression[4]. The insufficiently suppressed inter-ference will introduce residual range ambiguitiesin SAR image. On the whole, it means a deterio-ration of system performance on SNR (signal-to-noise ratio) and Range Ambiguity-to-Signal Ra-tio (RASR), which can greatly affect the qualityof the achieved SAR images. Since the antennapattern near null is rather steep, the loss on inter-ference suppression will be much more severe andmay be unacceptable[8]. Improved onboard adap-tive beam/null steering approaches are suggestedfor MWE-SAR or DBF-SAR systems[5,23], but theywill hugely increase digital resources for space-borne SAR.Another concern on the real-time ANS-beam-former is the Pulse Extension Loss (PEL) effect[20,21].The ground area contributing to the echo at anyinstance of time is referred to as the pulseextent[21], it depends on the pulse duration andtravels predictably on the ground under a givengeometry. However, the time-varying beam andnulls are normally precisely designed to point tothe center of pulse extent of the transmit wave-forms at a given time. Since ANS-beamformeruses all the channels in elevation to form a sharphigh-gain receive beam, then when a narrow beamis steered toward a long pulse extent, the beamshape (spatial filtering) may affect the signal(chirp) spectrum and introduce SNR losses. Forthe null-steering interference suppression, sincenormally deep nulls only correspond to spatialpoints in spatial filtering rather than extents,it becomes evident that the resulting RASR lossmay be more obvious. By assuming for the trans-mit signal a chirp with linear frequency modula-tion, frequency-dispersive beamforming can miti-gate the effect of the pulse extension[20,22]. Under alinear approximation on steering angle vs. targetdelay, the ANS-beamformer implements a fre-quency-dependent beam steering using an embed-ded real-time FIR filter[7]. A constant time delaycan be implemented using the embedded FIR fil-ter without much resource occupation[7,24]. Ratherthan the normal purpose of removing frequencydispersion in a broadband beamforming[20], herethe introduced time delay is to make the de-sired frequency dispersion to mitigate the PEL ef-fect. However, since some essential approxima-tions are involved, again, for null-steering interf-erence suppression, the above PEL compensationmay not be accurate enough to precisely dispersea null point to the whole pulse extent andmake a perfect suppression[5,20].An alternative separation approach employs aposteriori DBF in elevation on the ground, range-bin by range-bin after range compression[4,8,18]. Bythis way, no extra onboard computation is essen-tial, and useful information about the spatialstructure and enough DOFs will be preserved, ena-bling flexible and adaptive beamforming on theground. It can avoid problems like topographicheight variation. The performance improvementswith adaptive DBF in presence of topographicheight variations were verified in Ref. [8] andRef. [23] for MWE-SAR and DBF-SAR case, re-spectively. Since there is no real-time beam scan-ning onboard the satellite, after range compres-830 Journal of Radars Vol. 9sion on the ground, the pulse extent is com-pressed to only one range bin, so that the PELproblem is also solved easily on the ground. Theonly critical issue is the choice on the number ofreceive elevation subapertures/channels under agiven properly designed antenna height[8]. Using alarge number of receive channels means a smallsubaperture size and a broad subaperture-levelbeam, and will preserve enough DOFs andachieve optimum performance, but it also bringon severe increase in the downloaded datavolume. It is shown in Ref. [8] that the choice ofreceive subaperture number is restricted by mul-tiple inherent constraints and trade-off has to bemade between performance degradation and datavolume increase. It is concluded that consideringthe performance preserving requirement as well assurvey efficiency, a channel number of more thantwice the transmit waveform number isrequired[8], which means a more than double datadownlink rate requirement compared with the on-board ANS-DBF approach in Refs. [6,7]. If the re-ceive subaperture number is equal to or justslightly larger than the transmit waveform num-ber, severe performance degradations, especiallythe SNR and RASR loss at swath borders, will beunavoidable and unacceptable[8].In this paper, the performance of a separa-tion approach employing hybrid DBF inelevation[4,8,9] by combining the onboard real-timebeamsteering and a posteriori DBF on the groundis elaborately investigated. The approach was ori-ginally suggested in Ref. [4] and its feasibility wasbriefly discussed in Ref. [8] and Ref. [9]. As a cas-caded structure that comprises two subsequentDBF networks, the onboard real-time part effec-tuates the steering of the mainlobes for multiplepartitioned groups of antenna elements in eleva-tion to ensure sufficient signal receive gain for themultiple transmit waveforms over the whole rangeof the swath, but do nothing with the echo separa-tion. In the meantime, essential DOFs and spa-tial structure information are preserved in thedata of the output channels with a significantlyreduced channel number. Since a much widersubaperture beam (compared to the full-aperturesharp beam in ANS-DBF) is employed with noneed to place scanning nulls in real time, the to-pography and PEL problem can be self-relieved.The a posteriori adaptive DBF network (theground part), after range compression, mainlyperforms the task of placing nulls bin-by-binalong range to cancel the range interference fromother transmit waveforms, which enables flexibleand adaptive beamforming to avoid the topo-graphic height variation problem. The system per-formance on SNR and range ASR are theoreti-cally analyzed and simulated in this paper. It isshown that the hybrid DBF approach in eleva-tion can integrate the both advantages of the on-board ANS-beamforming and the a posterioriground DBF.2    System Concept ReviewThe basic idea of MWE-SAR is reviewedbriefly in this section, which is originally pro-posed in Ref. [4] and later explained in more de-tail in Refs. [511]. The waveform schemes usedby MWE SAR sensing are also introduced anddiscussed briefly.2.1  Operation modes for azimuth MWE SARA variety of promising implementations of theMWE concept were suggested to achieve diffe-rent goals, among which the Azimuth MWE(AMWE) is prominent to achieve high-resolutionwide-swath imaging[4,68]. The AMWE modes arethe focus of this paper, and other interestingmodes like Elevation MWE (EMWE)[5] are not in-cluded.In detail, there are two suggested modes du-ring transmission, which are illustrated in Fig. 1.For the multi-beam mode shown in Fig. 1(a),multiple transmit subbeams in azimuth areformed with the full antenna azimuth aperture,each subbeam covers a portion of the full illumin-ated footprint and has its own transmit wave-form, thereby the Doppler bandwidth within eachsubbeam is reduced. For the multi-phase-centermode shown in Fig. 1(b), the full antenna azi-muth aperture is split into multiple subaperturesand radiating multiple waveforms with the com-mon scene illumination. In this way the spatial di-No. 5 HE  Feng et al.: Performance Investigation on Elevation Cascaded Digital Beamforming for ... 831versity from the multiple transmit phase centersalong azimuth is achieved. Note that in bothmodes, on the slow-time scale, the transmit wave-forms from different subapertures/subbeams aretransmitted in parallel and lead to a simultan-eous scene illumination. On the fast-time scale,however, either the simultaneous[10,11,14,15] or thesequential transmission[4,68] is possible, which willbe discussed briefly in the following subsection.In whatever cases above, echoes arising fromthe simultaneous scene illumination by thesetransmit waveforms are received by multiple re-ceive antenna elements along both azimuth (seeFig. 2(a)) and elevation direction (see Fig. 2(b)),the whole receive antenna is a sufficiently exten-ded 2-D array. The additional information fromthe multiple elevation receivers are employed toseparate echoes from different transmit wave-forms using DBF on receive in elevation[68], whichequivalently provides the waveform orthogonalityin azimuth dimension.2.2  Transmit waveform schemeThe waveform design for multiple transmit-ters is an important issue in realizing the aboveAMWE-SAR system, which should ensure a reli-able separation of the echoes that arise from themultiple transmit waveforms by combining DBFon receive in elevation.Tp KrThe early proposed waveform scheme ofMWE SAR is transmitting a set of mutually timeshifted chirped subpulses Refs. [4,68]. A basicchirped pulse with duration   and FM rate   is (a) Multi-beam mode (b) Multi-phase-center modejV123V Fig. 1  Azimuth MWE on transmit 1 2 L...elevation2minctdelayRN=2maxctdelayRF=RSNadira(t)q(t)dLVHV(a) Multi-channel receiving in elevation (b) Multi-channel receiving in azimuth Fig. 2  Azimuth MWE on receive832 Journal of Radars Vol. 9p0(t)=rect(tTp)exp(jπKrt2)(1a)and the series of mutually time shifted wave-forms are represented bypm(t)=p0(t mT) =rect(t mTTp) exp[jπKr(t mT)2];m= M 12; M 12+1;···;M 12(1b)TTTpwhere   is the unit linearly shifted time and, which provides a sufficient mutual rangedelay that can be separated by DBF on receive inelevation. Note that here in order to give a uni-fied form for both cases when M is odd or even,here the subscript value m, denoting the sub-pulse number, does not have to be an integer it-self (m is increased by integers).By merely switching between different an-tenna beams or subaperture elements during eachtransmitted subpulse, the generation of the time-shifted chirped subpulses is quite simple. As analternative, the Short-Term Shift-Orthogonal(STSO) waveforms was proposed[11]. The lineartime shift in Eq. (1b) is replaced by cyclical timeshift to ensure the simultaneous transmission viamultiple orthogonal transmit channels. Owing tothe cyclical time shift, the transmitted signalsfrom any two different channels will fulfill the fol-lowing short-term shift orthogonality[11]h(t;)pi(t)pj(t+)dt=082[ ~T2;~T2]; i̸=j(2) ~Th(t;)T~Twhere   is the basic cyclically shifted time, represents a weighting function[11]. If  = , it isobvious that the linear time-shifted subpulses alsofulfill the requirement of Eq. (2), therefore Eq. (1)can be regarded as a specific kind of STSO wave-forms.2.3  Default assumption in this paperFor conciseness, in this paper, the analyticalderivation and simulation are dedicated to theAMWE SAR mode with multiple azimuth sub-beams on transmit. Owing to the similar trans-mit/receive antenna architecture in elevation di-mension, the multi-waveforms separation mannerhere is also feasible for the multi-phase-centermode[4] if the same time-shifted chirped wave-forms given in Eq. (1) is also used. If STSO wave-form encoding scheme is used, due to the similarchirped-pulse-based signal structure, the methodpresented in this paper will also be feasible aftersome necessary modifications.TrFor an AMWE SAR system with M azimuthsubbeams on transmit as shown in Fig. 1, Mtransmit waveforms are transmitted in everypulse repetition interval (PRI, denoted as  ),each corresponding to a subbeam. The complexform of the overall transmit signal is representedbys(t)=2640B@M 12 m= M 12pm(t)1CA(1 k= 1(t kTr))375exp(j2πfct) (3a) fc k(t)s(t)where   is the carrier frequency,   is the PRInumber,   represents Dirac function, and   de-notes time domain convolution. When a set ofmutually time-shifted chirped subpulses de-scribed by Eq. (1) are used,   can be further repre-sented bys(t)=264p0(t)0B@M 12 m= M 12(t mT)1CA(1 k= 1(t kTr))375exp(j2πfct)(3b)As for the imaged scene in presence of topo-graphic height variations, like the assumptionused in Ref. [8], we consider an instantaneously il-luminated swath characterized, along the iso-range lines, by a homogeneous backscattering sur-face and constant topographic height. This meansthat in elevation the layover effect does not occur,and in azimuth, a mean height of all contributingbackscattering within the illuminated azimuth ex-tend is sufficiently representative. Though simple,this reference surface allows for a first stage com-parison for achievable performance in the simula-tion of this paper.No. 5 HE  Feng et al.: Performance Investigation on Elevation Cascaded Digital Beamforming for ... 8333    Cascaded Digital Beamforming Net-works in Elevation3.1  Structure and signal model of cascaded DBFnetworksL0d0d0d0d0 L0 L0d0The structure of cascaded DBF networks inelevation investigated in this paper is given byFig. 3. The total receive aperture in elevation issplit into   subapertures. The size of each suba-perture is  . In the following of this paper, eachsubaperture with size   is called an antenna ele-ment. Due to the relatively small scan angleneeded for the onboard beamforming, the ele-ment spacing   is not restricted by halfwavelength[7]. With a properly designed antennaheight[4,8], a larger   can reduce the element num-ber  , which is pre-requisite considering thedownloaded data volume for a system employinga posteriori DBF only on the ground[8]; However,this will also narrow the beam of each antennaelement. In this paper, since an onboard DBFnetwork is used and the downloaded data volumeis no longer dependent on  ,   should be smallenough so that a near constant element-level gainwithin the swath can be held.pm(t)For each antenna element, the signal is re-ceived, demodulated and digitized separately. Asshows in Fig. 2 and Fig. 3, suppose that the firstelement is selected as the reference channel in el-evation, according to Eq. (3), the baseband echoof the mth subpulse   in the kth PRI re-ceived by the reference elevation channel after co-herent demodulation is given bys(k)m(t) =1 1g(k)m()pm(t  kTr)d=Tp2 Tp2g(k)m(t  mT kTr)p0()d (4)g(k)m()2[mindelay;maxdelay]c =(maxdelay+mindelay)/22[ Tp/2; Tp/2]where   is the extended ground reflectivitywithin the illuminated patch[8] of the mth sub-pulse in the kth PRI,   is theround-trip delay from ground scatterer to the refe-rence channel, with its delay center value (cf., Fig. 2); represents the relative in-pulse time.Note that here   also represents the slant-range position on the ground, so that the off-nadirangle α and incidence   in Fig. 2 can be represen-ted as single-valued functions of delay if ignoring ADwrt,0(t) wrt,0(t) wrt,0(t) wrt,n(t) wrt,n(t) wrt,n(t)ADADwrt,N-1(t) wrt,N-1(t) wrt,N-1(t)... ...+ADADAD... ... ADD0(f )ADADDN-1(f ) Dn(f ) D0(f ) DN-1(f ) Dn(f ) D0(f ) DN-1(f ) Dn(f )... ...... ... ... ...wg,0 l(t)wg,ml(t)wg,m0(t)wg,00(t) wg,0(L-1)(t)wg,m(L-1)(t)P0(f )+0 1 N-1 lN (l+1)N-1 (L-1) N L×N-1=L0-1hant=L0×d0Onboard DBF NetworkFull-Swath SNR Preserv.Ground  DBF NetworkSignal Reconst. &Ambig. Suppressing Pm(f ) P0(f ) Pm(f ) P0(f ) Pm(f )+ysub_L-1(t) ysub_l(t) ysub_0(t)M-1s(k=0)2(t)M-1-s(k=0)2(t)sm~~~(k=0)(t)× × ×+× × × × × ×+××××××................................. ... Fig. 3  Cascaded DBF networks in elevation performing the SNR-preserving and interferences-free signal separation834 Journal of Radars Vol. 9g(k)m() g(k)m() l0layover effect, according to the basic assumptiongiven in Section 2.3. To a first approximation,these functions can be determined from the orbitand the given Earth model[6], however, their truevalues cannot be simply modeled. Also note thatin order to give a concise form, the transmit an-tenna pattern and the receive element-level pat-tern are included in  . A detailed descrip-tion for   under the homogeneous white re-flectivity assumption can be found in Ref. [8]. Forthe  th antenna element, the demodulated echoof the same subpulse can be expressed in a simi-lar integral form ass(k)m;l0(t=t+l0) =Tp2 Tp2g(k)m(t mT kTr) exp[j2πfcl0(k)m(t)]p0()d (5)l0 (k)mIn comparison with Eq. (4), there is an extra de-modulated phase term introduced by the addi-tional trip delay  , which is given by(k)m() =d0sin[

(= mT kTr)
(= mT kTr)]c(6)
l0l0(k)m(c) l0 t=twhere   is the off-nadir angle of the antenna nor-mal boresight,   is the off-normal direction angle,c is the speed of light. Besides the above phaseshift, there still exists a small envelope delay for the receive time. The enve-lope shift   can be ignored[68] if the signalbandwidth is not wider than the arraybandwidth[20], which is the usual case for mostcurrent spaceborne SAR using phased arraymethod. In this paper, this conventional phase-shift DBF case with narrowband signal is as-sumed, therefore, in the following expressions is adopted. In a very high-resolution case,however, such an approximation may cause fre-quency dispersion phenomenon in beamforming ifthe signal bandwidth is much wider than the ar-ray bandwidth[20]. Then a time-varying time-delaynetwork implemented by FIR filtering, or spe-cially designed subband-based scalloped beam-forming is essential to fulfill broadband DBF com-pensation. One can find a detailed description forthis issue in Ref. [20].L0 Nd0s(k)m;ln(t)nN 1 lL 1s(k)m;ln(t)As shown in Fig. 3, the   antenna elementsare then partitioned into L groups, each grouphas N elements and forms a larger subaperturewith the size  . In the following, a subaper-ture refers in particular to such a group of an-tenna elements. In general the overlapping ofsubapertures is permissible, but it is not con-sidered here for simplification. Let   denotethe echo from the mth transmit subpulse in thekth PRI received by the nth element ( =0, 1, ···,) within the lth subaperture ( =0, 1, ···,), according to Eq. (5),   can be fur-ther expressed ass(k)m;ln(t) =exp[j2(lN +n)πfc(k)m(t)]Tp2 Tp2g(k)m(t  mT kTr) exp[j2(lN +n)πfc (k)m(;t)]p0()d(7)where(k)m(;t)= (k)m(t ) (k)m(t) (8) (k)m(;t) Tp/2< Tp/2 ̸=0 Xcomp;sub_l(t)The time-variant exponential terms outsidethe integral in Eq. (7) for each receive elementsare always connected to the center look angle ofthe given subpulse at a given time, which consti-tute the time-variant steering vector associatedwith that subpulse and further determine thetime-variant weighting vector of the scanningbeam in Refs. [6,7]. However, the exponentialterm containing   inside the integral isdependent on the intra-pulse time variable  ,which will make an unwanted intra-pulse ele-ment-dependent phase weighting in the pulse ex-tend   and cause PEL at  .This problem can be easily solved in the a posteri-ori DBF approach by range compression. In Ap-pendix A, a summary derivation of the post-range-compression approach is reviewed as in Ref. [8],wherea full form of the received signal vector can be written in matrix form as[8]Xcomp;sub_l(t)=1 k= 1A(k)(t)s(k)comp;sub_l(t) (9)The above compact linear signal model isused to develop DBF methods in Ref. [8] for re-No. 5 HE  Feng et al.: Performance Investigation on Elevation Cascaded Digital Beamforming for ... 835s(0)comp;sub_l(t) Xcomp;sub_l(t)(k)m()constructing the unambiguous signal from  . However, for the non-range-compressed raw data in Eq. (7) onboard the satel-lite, if the phase value   is also directlyomitted within the uncompressed pulse duration,the influence of PEL may deteriorate the systemperformance. Therefore, here the lth-subapertureinput signal (including the additive noise) of thefirst-stage beamformer will firstly be written in itsinitial form given by the following Eq. (10), laterwe will re-derive a similar model like Eq. (9) forthe range-uncompressed signal in Section 3.2.3.xsub_l =1 k= 1M 12 m= M 12s(k)m;sub_l(t)+sub_l(t) (10a)xsub_l(t)=[xl0(t);xl1(t);···;xln(t);···;xl(N 1)(t)]Ts(k)m;sub_l(t) =[s(k)m;l0(t);s(k)m;l1(t);···;s(k)m;ln(t);···;s(k)m;l(N 1)(t)]Tsub_l(t) =[l0(t);l1(t);···;ln(t);···;l(N 1)(t)]9>=>;(10b) ln(t)In Eq. (10)   is the additive noise of thenth element in the lth subaperture. The mainpurpose of the first-stage onboard DBF withineach subaperture is to optimize signal power ofthe multiple transmit waveforms/subpulses forimproved SNR performance over the whole swath.At the same time, the output data volume can beN-times reduced onboard the satellite.xsub_lysub_l(t) ysub_l(t)lL 1By combining the N elements of the vector within each subaperture, the output of eachsubaperture is a scalar signal denoted as  .The output signals   ( =0, 1, ···, ) fromdifferent subapertures constitute the input vectorof the second stage cascaded DBF networkYsub(t)=[ysub_0(t);···;ysub_l(t);···;ysub_L 1(t)]T(11)s(0) M 12(t) s(0)M 12(t)In this stage null-steering DBF is performedon the ground to realize the reliable extraction ofechoes from M transmit subpulses, i.e. to  , free of mutual interferences, by fle-xibly and adaptively placing nulls of the arraypattern.N=L0 L=L0Both the onboard realtime ANS beamformerin Ref. [7] and the ground a posteriori DBF inRef. [8] can be viewed as special cases of the hy-brid cascaded DBF networks in Fig. 3. For theonboard ANS DBF network[7], the second-stageDBF in Fig. 3 is omitted; in the onboard part,now the number of the onboard beamformers isL=M, and the number of the elements withineach beamformer is  . It means that eachsubaperture here is extended to the full aper-ture and mutually overlaps completely. For theground a posteriori DBF network[8], it can be con-sidered that there are   subapertures in theonboard DBF network, and each subaperturebeamformer only has one antenna element andacts as a direct through connection filter.3.2  Onboard SNR-Preserving DBF
()In order to optimize the overall signal powerand minimize signal distortion over the wholeswath in each subaperture onboard the satellite, aproperly designed digital subaperture beam,which is much wider than the full-aperture sharpbeam in ANS-DBF[7], should be formed and fol-low the multiple radar subpulses as a whole whenthey travel on the ground, keeping enough highreceive gain within the entire instantaneous scat-tering field at any instance of time. For onboardDBF, the off-normal direction angle   has tobe predetermined by a assumed model. Fortu-nately, here the formed subaperture beam is muchwider and no deep null is needed, the accuracydemand for   is not high.Trg(T;
(M T;
())L> M
(M T;
())Given a pulse duration  , the ground rangepulse extent   and corresponding angularpulse extent   can be calculated and theirexpressions have been given in Ref. [21]. For aMWE SAR system, since the whole transmit dura-tion is  , the instantaneous angular pulse ex-tent covering the entire instantaneous scatteringfield becomes  . In Ref. [8] it hasbeen analyzed that if the subaperture number, it will not be difficult for a system desig-ner to have a nominal 3 dB-beamwidth of eachsubaperture larger than  , so thatthe PEL influence is comparatively limited.836 Journal of Radars Vol. 93.2.1 Beamformer design for instantaneous scat-tering field wRTt=c
0 =
[M T;
c =
(c)]/2 c wHRTThis subsection aims at optimizing the DBFweighting   for the instantaneous scatteringfield at the center of the swath, i.e.  . Let, representing the halfangular pulse extent at  . With a given weight-ing vector  , the array pattern function of anantenna subaperture can be written asB( )= wHRTIs( c)v (   c) wHRT; cv ( =   c)}(12)v ( )= [1 ej ··· ej(N 1) ]T(13) =2πd0sin
 c =2πd0sin
cIs( c)=diag[v ( c)]NN  c[
[M T;
c =
(c)]   2[  0; 0] 0 =2πd0sin
0Bd( ) [  0; 0]where   and  , is the   steering dia-gonal matrix for the direction  . The angular re-gion   covering the angular pulse extent will correspond to a  -do-main region  , where  .Assuming that an ideal antenna pattern is given, which has the optimum response in theangular region  , e.g., fulfillingBd( )= 1;   0   0(14)It is evident that if Eq. (14) is satisfied, thespatial filtering within the instantaneous pulse ex-tent is fixed-gain and no amplitude modulationand relevant losses will be introduced on eachsubpulse. In other words, it is an intra- and inter-subpulse distortionless optimum spatial filter.The following square error is defined bye=0  0
Bd( )  wHRT; cv ( )
2d (15)Based on the zero gradient method the fol-lowing constraint equation is derived:Q 0 wRT; c=b (16)whereQ 0=0  0v ( )vH ( )d (17) b=0  0v ( )Bd( )d (18)Qπ =2πIN IN[ π;π] Q 0It is easy to derive that  ,   is a N-dimensional identity matrix. It implies that if thesubaperture pattern control is performed on thewhole unambiguous region  , then   is a[  0; 0] Q 0Q 0Q 0full rank matrix, no remaining DOFs are availableto further optimize the signal-to-noise level. For-tunately, Here the constraint is given in a smallangular region  , eigenvalues of   willdrop down quickly. If only the principal componentsin eigen-space of   are used to the form theconstraint Eq. (16), then more DOFs are availablefor subaperture-level SNR optimization. The prin-cipal-component version of   can be written asQ 0=Np 1l=0lϕl ϕHl=UQsQsUHQs(19)QsNp Q 00Np 1 UQsNp Np ewhere   is the diagonal matrix comprising principal eigenvalues of  , i.e.   to  , is the signal-subspace matrix comprising   prin-cipal eigenvectors correspondingly.   is selectedby a trade-off between minimizing square error and the available DOFs for performance furtherSNR optimization, it is determined in this paperasNp =2round[ 02πN+kp](20)kpwhere   is a turning parameter and its value isset as 1 here. By using the principal componentmethod, the constraint Eq. (16) can be rank-re-duced and converted toUHQs wRT; c= 1QsUHQsbgESLC(21)Under the above Eigen-Space Linear Constraint(ESLC) set, by exploiting the rest subapertureDOFs to keep minimum output noise power, onecan derive the following weight vector as wHRT= wHESLC=gHESLC(UHQsUQs) 1UHQsIs(  c)(22)  wHESLC NpIt is evident that   is a distortionless-re-sponse preferred beamformer that   subaperture-level DOFs are spent to keep distortionless re-sponse. The cost may be a degree of signal powergain loss. In practice, however, the distortionlessresponse constraint is not a mandatory one. For aSAR system, some degree of mild signal distor-tion is normally allowable and can be com-pensated in the a posteriori data processing,however, SNR loss is irretrievable. Consideringabove factors, in some appropriate sense, our newobjective is to maximize the signal response whilesimultaneously minimizing the response due toNo. 5 HE  Feng et al.: Performance Investigation on Elevation Cascaded Digital Beamforming for ... 837 wRT= wDPSSnoise and interferences. In Appendix B, an applic-able way is derived and a new weight vector is given to minimize the SNR loss.It is clear that the above weight vectors aredesigned only exploring information of the totalinstantaneous pulse extent, other prior informa-tion about the signal time-frequency relation isnot considered. This type is called as Type-Abeamforming in this paper. In the following sub-section 3.2.3, another Type-B beamforming willbe introduced.3.2.2 Beam scanning and subaperture-level outputwHRT(t) 
[M T;
(t)]  wRT[
0In theory, it is possible to optimize the real-time weighting vector   at any instance oftime t. Due to the normally small scan angleneeded for the onboard beamforming, only changes slightly with t. Byutilizing the relationship expressed in Eq. (A-5)for the pulse-centred steering vectors, the real-time scanning subaperture-level beam can bepractically designed with two steps: first, a stat-ic beamformer (corresponding to   in the pre-vious subsection) is optimized aimed at the in-stantaneous scattering field   (may leavingsome margin for  ) at the swath center, then areal-time scanning is added to chase the wholepulses. Accordingly, the time-variant weightingvector, after the real-time scanning is added, canbe represented bywHRT(t)= wHRTH(t) (23)NNH(t)where the   dynamic steering diagonal mat-rix   is defined by Eq. (A-6).According to the input signal model given byEq. (10), the output signal of the lth subapertureis then given byysub_l(t) =wHRT(t)xsub_l(t)=1 k= 1M 12 m= M 12s(k);outm;sub_l(t)+outsub_l(t)(24a)s(k);outm;sub_l(t)=wHRT(t)s(k)m;sub_l(t)outsub_l(t) =wHRT(t)sub_l(t)}(24b)wHRT(t)s(k)m;sub_l(t) s(k);outm;sub_l(t)According to the expression of   and,   can be further written as s(k);outm;sub_l(t)=N 1 n=0s(k)m;ln(t)[wHRT(t)]n={g(k)m(t mT kTr)exp[j2lNπfc(k)m(t)]}p(k)0;m(t)(25)wherep(k)0;m(t) =p0(t)N 1 n=0[(k)mnexp( j2nπfbt)]p0(t)(k)m(t);  Tp2tTp2(26)(k)mnIn Eq. (26) the serial   is(k)mn=[  wRT]n exp[j2nπfc(k)m(c)](27)(k)m(t)(k)m;l (k)m(t) (k)m(t) wHESLC  wDPSSand the function   can be calculated fromthe serial   using the fast Chirp Z-transform[25].It is clear from Eq. (27) that   is the weight-ing function caused by the time-variant subaper-ture gain over the extent of the mth transmit sub-pulse in the kth PRI, it also can be regarded asthe intra-subpulse distortion. In Section 5, theplots of   for the distortionless-response-pre-ferred weighting   and the SNR-preferred will be compared.3.2.3 Alternative approach exploring subpulsestructure informations(k)m;ln(t)If the prior information of the chirped sub-pulse time-frequency structure is utilized, the re-ceived echo   given by Eq. (7) can be fur-ther rewritten ass(k)m;ln(t) =exp[j2(lN +n)πfc(k)m(t)]Tp2 Tp2g(k)m(t  mT kTr) exp{j2(lN +n)πfc(k)m(;t)} exp(jπKr2)dexp[j2(lN +n)πfc(k)m(t)]Tp2 Tp2g(k)m(t  mT kTr) expf j2(lN +n)πfbgexp(jπKr2)d(28)(k)m(;t)In Eq. (28) we use the linear relationship betweenthe off-boresight angle and echo delay[68,22] im-plied in Eq. (A-7), so that   can be ap-838 Journal of Radars Vol. 9(lN+n)fbs(k)m;ln(t) s(k)m;l0(t)proximated as a linear phase term correspondingto a frequency shift  . By exploiting therelationship of a LFM signal between time-do-main and frequency-domain shift, within eachsubaperture, one can approximate the nth-ele-ment signal   with the time-shift version ofits subaperture-level reference signal   ass(k)m;ln(t) =exp(jπn2f2bKr)exp[j2nπfc(k)m(t nTb)] s(k)m;l0(t nTb)exp[j2nπfc(k)m(t nTb)]s(k)m;l0(t nTb)(29)whereTb =fbKr(30)fbexp(jπn2f2bKr) 2nπfb nTbDn(f)is the equivalent time shift coupled with the fre-quency shift  . For brevity, the phase term is neglected since it is small andcan be easily compensated. From Eq. (29) it isfound that owing to the same linear connectionbetween time and frequency within each chirpedsubpulse, the additional intra-pulse phase shift (relative to the reference channel) vary-ing linearly over the subpulse extent can be equi-valent to a relative time delay  . It should benoted that now the FIR interpolation filtering(see the optional filters   in Fig. 3) is essen-tial, and the first step of the onboard network isto implement the following linear frequency-de-pendent phase shifts within each group of an-tenna elementsDn(f)= 2nπfTb; n = 0;1;2;···;N 1 (31) xsub_lwhich introduce different time delays in the sig-nal paths of the individual antenna elementswithin each subaperture prior to the followingbeamforming, to make the beamforming fre-quency-dispersive and mitigate the effect of thepulse extension. After this step, the input signalvector   in Eq. (10) now becomesxshiftsub_l(t)= [x0l(t);xl1(t+Tb);···;xln(t+nTb);···;xl(N 1)(t+ (N 1)Tb)]T(32)and according to Eq. (30) can be further writtenin matrix form asxshiftsub_n(t)=1 k= 1A(k)(t)s(k)sub_l(t) +sub_l(t) (33)s(k)sub_l(t)=[s(k) M 12;l0;···;s(k)m;l0;···;s(k)M 12;l0]TDn(f)where  .In comparison with the range-compressed signalmodel given by Eq. (9), it is found that after the linearfrequency-dependent phase compensation per-formed by  , Eq. (33) gives a compact linearmodel for onboard real-time beamforming whichhas exactly the same form for the ground a pos-teriori DBF in Ref. [8]. This means the alreadywell-developed DBF algorithms can be directlyused here after some necessary modifications.For instance, with a reasonable optimizationcriteria to keep the signal distortionless while si-multaneously minimizing the response due tonoise, using the Linear Constrained MinimumVariance (LCMV) method[7,8], one can derive thefollowing real-time weight vector aswHRT(t)=wHDR(t) =gHDR(A(0)H(t)R 1(t)A(0)(t)) 1 A(0)HR 1(t)(34) gDRR(t) k̸=0 2noisewHRT(t)where   is the distortionless response con-straint vector, and   denotes the noise covari-ance matrix. Note that directional range ambigu-ities from other PRIs ( ) are ignored to sim-plify the real-time beamforming, and the noise isassumed to be white and complex normal distrib-uted with zero mean and noise power  . Then can be shortened as its quiescent stateformwHRT(t)=wHDR(t) =gHDR(A(0)H(t)A(0)(t)) 1A(0)H(t)(35) gDRgDRgMDRIt is easy to find that the weighting vector inEq. (34) and Eq. (35) have almost same formswith the ones which are given in Refs. [7,8] de-rived with the same LCMV method. Nevertheless,it should be noted that there is still a major dif-ference on the definition of the constraint vector. In this paper,   comprises M distortionlessresponse constraints for each subpulse and shouldbe denoted as gMDR=[ 1 1 ··· 1 ]T1M(36)It is reasonable since here it is not the duty ofthe onboard DBF to do the echo separation, soNo. 5 HE  Feng et al.: Performance Investigation on Elevation Cascaded Digital Beamforming for ... 839gDR=em=[0 ··· 0 1 0 ··· 0]T1Mthat no null is needed. However, in Refs. [7,8],, it is definedas the mth column vector of the M×M identitymatrix. In this case, M1 nulls are formed to can-cel M1 echoes from the corresponding subpulses,only one subpulse echo is distortionless retained.wHMDR(t)According to the relationship given by Eq.(A-5),   can be further given bywHMDR(t) =[gHMDR(A(0)HA(0)) 1A(0)H]H(t) wHMDRH(t) (37)  wHMSNR wHMDRJust like what done in Section 3.2.1 and Ap-pendix B, we can also derive a weighting vectorto relax the distortionless demand but prefer SNRperformance. In Appendix C such a SNR-prefer is derived which can be an alternative of in Eq. (37).A(0) H(t) ysub_l(t)One should note that the real-time weightingvectors Eq. (37) are normally configured in a de-terministic manner onboard the satellite, so that and   in Eq. (37) are predeterminedbased on an assumed earth model. The outputsignals   from each subaperture are thengiven byysub_l(t)=1 k= 1s(k);outsub_l(t) +outsub_l(t);l = 0;1;2;···;L 1 (38a)s(k);outsub_l(t)=[wHRT(t)A(k)(t)]s(k)sub_l(t)q(k)TRTs(k)sub_l(t)outsub_l(t) =wHRT(t)sub_l(t)9>=>;(38b)q(k)RTt2[mindelay;maxdelay]q(0)RTq(k̸=0)RTwHMDR(t) wHMSNR(t) q(0)RTwHRT=wHMDRIt is clear that   is made up of the finalweighting coefficients for individual returns frommultiple transmit subpulses. It is easy to knowthat letting  ,   will correspondto desired signal return and   to the kth am-biguity return. If ignoring the influence of modelmismatch in the presence of topographic heightvariation, according to the definition of and  , it is easy to derive that   for thedistortionless response weighting   isq(0)TRT=gHDR=[ 1 1 ··· 1 ]1M(39)which will ensure the distortionless responses, andwHRT=wHMSNRq(0)RTfor the maximized SNR weighting  , now isq(0)TRT=cHmaxA(0)HA(0)(40) q(0)TRTSince the elements in above   is normallyunequal, a certain inter-subpulse relative distor-tion will occur as the price of maximizing SNR.3.2.4 Analysis of realtime computational load wHRT(t)For the purpose of analyzing the realtimecomputational load of the proposed onboardDBF, the amount of real multiplications is de-rived in this subsection. It is known that the pro-posed realtime DBF approach in Section 3.2 is adeterministic DBF process. The fast-time-variantweighting vector in Eq. (23) is pre-determinedand those weighting coefficients can be calculatedin advance and stored in the onboard memory.However, since for each fast-time sample, a N-di-mensional complex weighting vector is to bestored, a total huge onboard memory size isneeded for the whole receive window. In order tosave onboard memory, as a reasonable compro-mise, we can only calculate in advance   and in the time-variant weighting vector of Eq.(23), then for each fast-time sampling time, anadditional computational load of N-point com-plex multiplications is essential.Assuming Y fast-time samples in the receiveecho window, the whole number of real multipli-cations of the present DBF processing for theType-A beamforming given in Section 3.2.1 canbe expressed asT1 =YN3+YL03 =YN3(L+1)(41)In Eq. (41), the first term after the equal signrepresents the added real-time computation for Ncomplex weighting coefficients calculation, where3 real multiplications for realizing one complexmultiplication is assumed[24].In order to realize the Type-B beamformingscheme discussed in Section 3.2.3, it should benoted that besides the above additional computa-tional load, now a FIR interpolation filtering foreach antenna element channel is essential. Consi-dering a P-order FIR interpolation filter is used ineach antenna element channel, according to theROP (Resource Occupation Reduced) processing840 Journal of Radars Vol. 9scheme given in Ref. [24], now the whole numberof real multiplications of the Type-B DBF pro-cessing can be expressed asT2 =YL0(P+2) +YN3 +YL03=YN[L(P+ 2) + 3(L+ 1)] (42)As a reference level of onboard computation-al load, assuming with the same digital receivingstructure of the DBF SAR and only employingthe basic power combination among the multipleonboard channels toward a fixed direction in a di-gital way like the method given in Ref. [8], thenumber of real multiplications can be expressed asT0 =YL03=YN3L (43) T1T2T0The comparison between  ,   and   is il-lustrated in Fig. 4. The parameter values in thesimulating is in accordance with the simulationgiven in Section 5. It can be seen that althoughthe Type-A beamforming scheme implements anonboard time-variant beam scanning for SNR-Preserving, under the same output channel num-ber, the additional realtime computational load issmall in comparison with the present computa-tional load level only implementing basic digitalpower combination toward fixed direction[8]. Forthe Type-B beamforming scheme, however, theadded realtime computational load is sizable andshould be considered in practical use.3.3  Ground Reconstruction3.3.1 Range focusing and the unified range-com-pressed signal formBefore signal reconstruction processing in ele-vation on the ground, data should be range fo-cused first to minimize the pulse extension. Un-der the condition that the time-shifted chirpedsubpulse waveform scheme given in Eq. (3) is em-ployed, a common match filter can be used formultiple transmit subpulsesh(t)=Ac p0( t) (44) Ac =jKrjwhere   is a constant amplitude whichkeeps matched signal output energy unaltered.From Eq. (25) and Eq. (38), it is easily knownthat whether the Type-A beamformers derived insection 3.2.1, or the Type-B beamformers furtherexploring subpulse structure information in sec-tion 3.2.3 are used, the output signal correspond-ing to the echo of the mth subpulse in the kthPRI can be expressed by the following unifiedform for the lth subapertures(k);outm;sub_l(t)={g(k)m(t mT kTr)exp[j2lNπfc(k)m(t)]}p(k)rt;m(t)(45)p(k)rt;m(t) p(k)rt;m(t) p(k)rt_A;m(t)where   is the output reference pulse afterreal-time beamforming, for the Type-A case, ac-cording to Eq. (24) and Eq. (25),   is de-noted as   and expressed byp(k)rt_A;m(t)=p(k)0;m(t) =(k)m(t) p0(t) (46) p(k)rt;m(t) p(k)rt_B;m(t)and for the Type-B case, according to Eq. (38), is denoted as   and expressed byp(k)rt_B;m(t)=[q(k)RT]m p0(t) (47)(k)m(t)s(k);outm;sub_l(t) ~s(k)m;sub_l(t)Note that for a Type-A beamformer, there existspossible intra-subpulse distortion function caused by the time-variant array pattern weigh-ting, which may cause a degree of mismatchingfor the matched filtering Eq. (44). The matchedfiltering output of  , denoted as, then can be uniformly represented by~s(k)m;sub_l(t)={g(k)m(t mT kTr)exp[j2lNπfc(k)m(t)]}p(k)c;m(t)(48) p(k)c;m(t) p(k)rt;m(t)where   is the range compressed version of, which is for a Type-B beamformerp(k)c_B;m(t) =p(k)rt_B;m(t)h(t)=[q(k)RT]m Ac p0(t)p0( t)[q(k)RT]m pcomp(t) (49)and for a Type-A beamformer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1004080120160200Number of output channels (L)Number of multiplicationsper second (GMPS)T0T1T2 Fig. 4  Number of real multiplications per second of the proposedtwo types of onboard DBF processing and the referencebeamforming processing given in Ref. [8] (N=5 and P= 8)No. 5 HE  Feng et al.: Performance Investigation on Elevation Cascaded Digital Beamforming for ... 841p(k)c_A;m(t)=p(k)0;m(t)h(t) =Ac[(k)m(t) p0(t)]p0( t)q(k)m pcomp(t)(50) pcomp(t) (k)m(t) q(k)mIn above two equations,   is a sinc-typefunction. Note that in Eq. (50) an approximationis made that the defocusing effect of mismatchingcaused by   is ignored and the peak gain de-crease   is concerned, which can be expressedasq(k)m=241TpTp2 Tp2
2d3512(51)q(k)RTq(k)mq(k)RTBy comparing the Type-A version in Eq. (50)and the Type-B version in Eq. (49), it is clearthat if we redefine the vector  , whose mth ele-ment is equal to  , then we can unify the twotype of beamforming signal models after range fo-cusing, only keeping in mind that the real mean-ing of   is not the same. Using the same short-pulse-extent approximation which has been ex-plained for Eq. (A-1), one can easily derive thefollowing relation~s(k)m;sub_l(t) =exp[j2lNπfc(k)m(t)]~s(k)m;sub_0(t)exp[j2lNπfc(k)m(t)]~s(k)m(t) (52)~ ysub(t)=[~ysub_0(t);···; ~ysub_l(t);···; ~ysub_L 1(t)]Tthen the full form of the output signals from theL channels of onboard Type-A or Type-B DBFnetwork, i.e.  can be represented in matrix form as~ ysub(t)=1 k= 1V(k)(t)[q(k)RT~s(k)sub_0(t)]+~ outsub(t)(53a)~s(k)sub_0(t)=[~s(k) M 12(t);···; ~s(k)m(t);···; ~s(k)M 12(t)]Twhere is the reference-channel (the zero-th subaperture)echo vector comprising multiple transmit sub-pulses,  denotes Hadamard product, and~ outsub(t)=[~outsub_0(t);···; ~outsub_l(t);···; ~outsub_L 1(t)]T(53b)V(k)(t)=[v(k) M 12(t) ··· v(k)m(t) ··· v(k)M 12(t)](53c)v(k)m(t)=[1 ej2Nπfc(k)m(t)··· ej2(L 1)Nπfc(k)m(t)]T(53d)3.3.2 Ground reconstruction DBF algorithmThe linear signal model given by Eq. (53) willpose the following basic constraints on the groundweighting vectors to reconstruct the SAR returnsfrom multiple transmit subpulseswHg;m(t)V(0)(t)=eHm(54) wHg;m(t) V(0)(t) will restore the range compressed echoof the mth transmit subpulse without distortion,in the meantime cancel echoes of the other trans-mit subpulses, under the condition that accuratesteering vectors in   are available. However,in the presence of topographic height variations,merely fulfilling the predetermined constraint Eq.(54) will not ensure either sufficient interferencesuppression or signal gain, due to the deviation ofthe presupposed Direction Of Arrival (DOA) fromthe real one. Data-dependent adaptive methodscan provide performance improvement, e.g., byintroducing signal covariance matrix estimation.Positions of nulls of the formed receive patterncan be selected adaptively to offer more reliablesuppression to echoes from other transmit sub-pulses. However, the signal gain of the desiredtransmit subpulse is still sensitive to DOA errorsand may not be protected well enough under aconsiderable DOA mismatch.A widely used robust DBF technique whichoffers better protection for desired signal gain un-der DOA mismatch is diagonal loading, which willwork well if interferences are much stronger thanthe desired signal[26]. However, it is obvious fromEq. (54) that 'interference' and 'signal' are inter-changeable. Echoes from different transmit sub-pulses are with similar power level, at this pointdiagonal loading is not quite a suitable solution.Other methods to enhance the DBF robustnessagainst the DOA mismatch include imposing ad-ditional derivative constraints[26], covariance mat-rix tapering technique[27] and so on. These meth-ods can offer wider response at the look angle cor-responding to the desired transmit subpulse, oreven widened nulls for interferences from othertransmit subpulses. However, one has to devotemuch more additional system DOFs, it meanshere that the onboard output channel number L842 Journal of Radars Vol. 9should be much larger than the subpulse numberM. This condition obviously goes against the ori-ginal intention to minimize onboard output chan-nels.In summary, the ground reconstruction basedon the signal model Eq. (53) has the characterist-ics as follows: (1) the signal-plus-interferencenumber M is known in advance (returns from oth-er PRIs or layover sources are omitted); (2) acomparatively high and stable signal/interferencepower level relative to noise is predictable, consid-ering the demanding SAR application require-ment; (3) only a limited system DOFs are offered,due to the data downlink rate limit.V(0)According to above characteristics, a two-stepstrategy is considered here. First, a DOA-estima-tion preprocessing step is introduced for theknown number of transmit subpulses based on therange compressed array data, which can signifi-cantly reduce the source DOA uncertainty, owingto the high and stable signal/interference powerlevel relative to noise. Then, Eigen-Space basedmethod is employed to improve robustness: eachsteering vector (column vectors of  ), after re-newed with the estimated DOA, is projected tothe estimated signal-plus-interference subspaceobtained via the eigen-decomposition of thesample covariance matrix, in order to further re-duce steering vector errors caused by the residualDOA errors.^V(0)(t)^R~y=UsIsIUHsI^R~ y ~ ysub(t) sI^R~ y UsISupposing that using a direction-finding al-gorithm like Root-MUSIC[26], look angels of M re-turns are estimated and   is calculated accor-ding to Eq. (53c), in the meantime is obtained by the eigenvalue decomposition of, which is the estimated covariance matrix of, where   is the diagonal matrix compri-sing M principal eigenvalues of  ,   is the sig-nal-plus-interference subspace matrix comprisingM principal eigenvectors. Then the modified con-straint matrix after the signal-plus-interferencesubspace orthogonal projection is^V(0)=UsIUHsI^V(0)(55)Then the optimum beamformer maintainingdistortionless response to the desired signal whileminimizing the output interference-plus-noisepower can be represented bywHg;m=wHg_opt;m=eHm[^V(0)H^R 1~y^V(0)] 1^V(0)H^R 1~y=eHm[^V(0)HUsIS 1sIUHsI^V(0)] 1^V(0)HUsIS 1sIUHsI (56) wg_opt;m UsI V(0)It is clearly that   is within the signal-plus-interference subspace spanned by  , whichis the same subspace spanned by  . If definingthe following orthogonal projection matrixPv=V(0)[V(0)HV(0)] 1V(0)H(57) wg_opt;mthe orthogonal projected version of   onthe signal-plus-interference subspace is given bywHg_opt;m=wHg_opt;mPv=eHm{[^V(0)HUsIS 1sIUHsI^V(0)] 1^V(0)HUsIS 1sIUHsIV(0)}[V(0)HV(0)] 1V(0)H(58)V(0) ^V(0)V(0)Under the condition that the estimation of is enough accurate, ignoring the differencebetween   and   in the brace of Eq. (58)yieldswHg_opt;mwHg_q;m=eHm[V(0)HV(0)] 1V(0)H(59) wHg_q;mIt is obvious that the derived   is inform the optimal quiescent weight vector of thewell-known LCMV (linear constraints minimumvariance) beamformer subject to the constraintsof Eq. (54). It is also the analytical least squaresolution[8,26] subject to Eq. (54).4    Uniform Performance Analysiswg;mSince a unified range-compressed signal modeland ground signal reconstruction DBF algorithmcan be established in Section 3.3, an uniform perfor-mance analysis can be given. According to Eq.(53), echo from the mth transmit subpulse is sep-arated unambiguously by   and can be writ-ten asNo. 5 HE  Feng et al.: Performance Investigation on Elevation Cascaded Digital Beamforming for ... 843~soutm(t)=wHg;m~ ysub(t)= wHg;mV(0)(q(0)RTem)~s(0)m(t)| {z }signal+wHg;mV(0)M 12 m= M 12;m′̸=m(q(0)RTem)~s(0)m(t)| {z }residual interferences+KH k= KH;k̸=0wHg;mV(k)[q(k)RT~s(k)sub_0(t)]| {z }ambiguities+ wHg;m~ outsub(t)| {z }receivernoise(60)KHpsig;m(t)where   denotes the maximum range ambiguitynumber in consideration. The first term in Eq. (60)represents the unambiguously reconstructed re-turned signal from the mth transmit subpulse, thecorresponding signal power   ispsig;m(t)=
2~2(0)m(t) (61)~2(k)m (t)where   is the range compressed signal self-correlation derived in Appendix D and its expres-sion is given by Eq. (D-6).The second and the third term in Eq. (60) repre-sent respectively the ambiguous components in-side or outside the PRI, corresponding to residualinterferences from other subpulses transmitted inthe same PRI due to nonideal suppression, or or-dinary sidelobe range ambiguity weighted byDBF network. According to the results in Ap-pendix D, the total power of these ambiguouscomponents is given bypamb;m(t)=wHg;m(KH k= KHV(k) (k)qR(k)~s (k)HqV(k)H) wg;m psig;m(t) (62a)R(k)~s(t) =E[~s(k)sub_0(t)~s(k)Hsub_0(t)]=diag{[~2(k) M 12(t);···; ~2(k)m(t);···;~2(k)M 12(t)]}(62b) (k)q=diag(q(k)RT)(62c)The RASR corresponding to the mth trans-mit subpulse (also the mth azimuth subbeam forthe multi-beam mode) is therefore evaluated byRASRm(t)=pamb;m(t)psig;m(t); mindelayt mTmaxdelay(63)2[mindelay;maxdelay]Under the approximation that each transmitsubpulse contributes the almost same signalpower[ 8], the systemic RSAR for delay can be further evaluated byRASRsys()=M 12 m= M 12RASRm(+mT)M;mindelaymaxdelay(64) ~outsub_l(t)l =0;1;···;L 1 h(t)~outsub_l(t)The last term in Eq. (60) represents the ulti-mate output noise from the cascaded DBF net-works, which is the weighted sum of L noise com-ponents  ,  . Under the ap-proximation that the noise bandwidth is equal to thesignal bandwidth, taking account that   isan ideal Passive Power Filter (PPF), it is easilyderived that the noise power of   is givenbyE[
2]=2noise wHRT wRT(65)2noisewhere   is the noise power of each antennaelement. The ultimate output noise power of themth transmit subpulse ispnoise;m(t) =E[
wHg;m~ outsub(t)
2]=2noise wHRT wRTwHg;m(t)wg;m(t) (66)The local SNR scaling by the cascaded DBFNetworks in elevation corresponding to the mthsubpulse is therefore evaluated by(SNRinSNRout)mth=2(0)m (t)/2noisepsig;m(t)/pnoise;m(t)=2(0)m~2(0)m wHRT wRT
2ϕrrt;mϕrg;m(t) (67) ϕrrt;mϕrg;mwhere   and   represent respectively the844 Journal of Radars Vol. 9~2(0)m 2(0)m2[mindelay;maxdelay]SNR scaling caused by the onboard real-timeDBF and a posteriori DBF on the ground. Notethat here the approximation of   isused (cf. (Eq. D-6) in Appendix). Under theapproximation that each transmit subpulsecontributes the same signal power[8], the systemicSNR scaling factor in elevation for delay can be evaluated byrbf()=M 12 m= M 12[ϕrrt;mϕrg;m(+mT)]/M (68)rbf() 1/L0 rbf() d0 Hant Hant=d0L0d0d0It is easily understood from its definition that has an optimum minimum value  ,which means that the DBF network has orientedits maximum array gain toward the desiredsignal[8]. Also, it should be noted that   is ascaling factor of the output SNR relative to theinput element-level SNR due to the DBF-net-work, therefore the effect of the element-level an-tenna gain changing in response to the elementsize   to the ultimate output SNR is not coun-ted. Supposing that the total receive antennaheight   has been predetermined to meet therequirement[4,8] for a reliable separation of mul-tiple subpulses, then with the known condition, the output system SNR for a DBFnetwork different antenna element size, i.e., and  , is given bySNRout;d0SNRout;d0=d0d0Gd0;drop(
)/] d0d0d0Gd0;drop(
)1L0rbf;d0=1L0d0where   representsthe relative gain drop of a receive antenna ele-ment with the size  , which approaches the flat 0dB in the illuminated swath if   is small. When is small enough, in the most ideal case, and  , therefore, the ul-timate SNR loss for a DBF network with the an-tenna element  (with element size  ) relative tothe optimal SNR output can be given byLr()=Gd0;drop[
()]L0[rbf;d0()] 1(70)L 1r()= [L0/Gd0;drop()]Note that the value rbf;d0()rbf() Lr() can be viewed as a normalized version ofthe systemic SNR scaling factor   to providea fair comparison between various DBF networkswith different structures. Also note that the op-timum level of   is 0 dB.5    Design Example and Simulation ResultsIn Ref. [8], it has been demonstrated by simu-lations that under the DOA mismatch condition,the underground a posteriori process employingadaptive beamforming is promising to providemuch better performance compared with the real-time deterministic DBF[7], however, a more thandouble onboard channels and data downlink rateare required as the cost.This paper, as a continuation, will mainly il-lustrate the achievable performance improvementof the cascaded hybrid DBF networks by makinga direct comparison with the a posteriori DBF inRef. [8] under the same MWE SAR mode emplo-ying multiple azimuth subbeams on transmit.Therefore, we consider a design example of an X-band spaceborne SAR with an azimuth resolu-tion of 1.5 m and a swath width of 100 km, whichhas the same essential parameters (summarized inTab. 1) as the exemplary system simulated inRef. [8]. A transmit signal with M=4 chirped sub-pulses is assumed, each subpulse has a band-width of 250 MHz and a duration of 40 µs, and ismutually time shifted[4], the interval time betweenadjacent subpulses is also 40 µs. The transmit sig-nal scheme is same with that given in Ref. [8].The antenna height is properly designed andequal to 2.33 m, which meets the subpulse-separa-tion requirement on the antenna height given bythe Eq. (28) in Ref. [8]. The timing diagram ofthe exemplary system can be found in Fig. 2 ofRef. [8].L=L0The only difference is the onboard outputdata channel number L, which is equal to thenumber of the subapertures in elevation. In Ref. [8]  ,and its value is variable and tested from 5, 6, 10up to 150. It is pointed out in Ref. [8] that sinceno onboard realtime DBF network is employed,the channel number L is restricted by four inher-ent constraints, these constraints include the reli-able signal separation constrain, the swath-bor-No. 5 HE  Feng et al.: Performance Investigation on Elevation Cascaded Digital Beamforming for ... 845der gain-drop constrain, pulse-interval efficientutilization constrain, and the DOF constrain[8]. Inorder to satisfy the multiple constrains, a channelnumber L=10, which is 2.5 times of the transmitsubpulse number (i.e. M=4), is required, espe-cially for avoiding significant signal gain loss atswath borders. In this paper, however, owing tothe employment of the onboard real-time scan-ning DBF network, the original swath-bordergain-drop restrict is relaxed. A channel numberL=6, which is only slightly larger than the trans-mit subpulse number, is selected and demon-strated in the following simulation.In azimuth dimension, under the selectedPRF=1310 and the processed Doppler bandwidthof 4890 Hz, with four azimuth subapertures, theazimuth ASR after intra-subbeam azimuth spec-trum reconstruction and inter-subbeam spectrumcombination is approximate 30 dB, according tothe azimuth-dimensional reconstruction al-gorithms given in Refs. [3,6]. The following simu-lations will be focused on the performance in elev-ation dimension only.h=250mIn the following simulations, the true topo-graphic heights of the imaged scene are deliber-ately set with a deviation of   relativeto the given default earth model. Though it wasfound in Ref. [23] that the main-beam gain andSNR loss caused by such a height deviation isneglectable for the SCORE deterministic beam-forming in a DBF-SAR system, the RASR de-gradation for the deterministic ANS DBF in aMWE-SAR system is already unacceptable[8].At the first stage of the simulation, for thepurpose of providing explicit and quick assessingthe achievable best performance for the presen-ted hybrid DBF networks in comparison with thea posteriori DBF in Ref. [8], a standard array isd0 =/2 L0 =150 L=L0 =6assumed, and also assumed is that in both casesthe DOA mismatch can be accurately handled bythe ground DOA-estimation and robust beam-forming in the ground. By setting  , thereare   antenna elements in elevation constitu-ting the full aperture with the height of 2.33 m.For the ground part DBF network, since thedata-dependent adaptive beamformer given byEq. (56) will very close to its quiescent form if ac-curate DOA information is available, we will di-rectly employ the optimal quiescent LCMVweighting vector given by Eq. (59) with trueDOA to avoid the uncertainty caused by data-de-pendent algorithm. For the a posteriori DBF, is directly set, and the same quiescentLCMV weighting vector is also used for the sakeof fairness. On the satellite, for the onboard DBFnetwork, weighting vectors are calculated withthe deterministic DOA information according tothe default earth model.t=c wESLC (k)m(t) (0)m(t)The cascaded hybrid DBF networks emplo-ying onboard Type-A beamforming presented inSection 3.2.1 are investigated first. The array pat-terns of the distortionless-preferred ESLC beam-former and the SNR-preferred DPSS beamformerare shown in Fig. 5 for  . The two weightingvectors are power normalized to the power levelof   to keep the same output noise powerlevel. Over the extent of each transmit subpulse,there is a corresponding variant array gainweighting function. Therefore, as shown in Fig. 5,each subpulse extend is mapped into a given seg-ment on the abscissa axis, which is indicated by avertical bar. The amplitude variation in the ex-tent of each subpulse will cause the intra-sub-pulse distortion and can be represented by thefunction   according to Eq. (26). In Fig. 6,the different distortion functions   for mul-Tab. 1   Parameters used in the system simulation[8]Parameter Value Parameter ValueWave length 0.031 m Number of subpulses 4Swath width 100 km PRF 1310 HzOff-nadir angle 18o24oAzimuth subapertures 4Azimuth resolution 1.5 m Antenna length 10.8 mBand width 250 MHz Antenna height 2.33 mGround range resolution at center 1.5 m Processed Doppler bandwidth 4890 HzOnboard elevation channel number 6 Azimuth ambiguity to signal ratio 30 dBOrbital altitude 800 km Subpulse duration/ interval 40 µs846 Journal of Radars Vol. 9tiple subpulses are simulated and shown for thedistortionless-preferred ESLC and the SNR-pre-ferred DPSS beamformer, with gray line and redline respectively.(0)m(t) (0)m(t)It is shown in Fig. 5 that indeed the distor-tionless-preferred ESLC beamformer can output anearly constant gain for each subpulse. From theenlarged view in Fig. 6(b), the distortion func-tions   for the four subpulses are flat enoughwith only a ±1.2 dB of gain variation. However,it is obvious that the distortionless response isachieved at the price of considerable array gainloss. The SNR-preferred DPSS beamformer, onthe contrary, can get higher signal gains withmild inter- and intra-subpulse distortion. Withthe given system parameters in the present ex-ample, by maximizing the antenna directivity onthe entire instantaneous scattering angular region,the DPSS beamforming gets an array patternwhich has a main-beam shape similar to that ofthe normal beamformer, but with a lower side-loblevel implying a more powerful ambiguity-sup-pression ability. The 3 dB-mainbeam width isslightly wider than the angular region coveringthe entire instantaneous scattering field contain-ing 4 subpulses. From Fig. 6(a), it is shown thedistortion functions   for the four subpulses(0)m(t)are within an acceptable ±1.2 dB of gain varia-tion. The form of   is known and can becompensated in the processing.L=6In Fig. 7, performance comparison on RASRbetween the hybrid Type-A DBF networks andthe a posteriori DBF[8] is provided, with the sameonboard data channel number ( ) and sameantenna height. It is found that with the DPSShybrid DBF networks, either the swath averagevalue (49.3 dB) or the worst case value (38.1dB) of RASR is much better than that of theground DBF (47.1 dB for average and 30.4 dBthe worst), due to its time-variant weighting ful-filling optimization of the overall signal powerover the whole swath. With the ESLC hybridDBF networks, considering its signal gain loss forthe sake of keeping distortionless response, theRASR values in average (35.4 dB), though quiteacceptable, are not as good as the ground DBF,however, at swath borders, the worst case value(34.9 dB) is still much better. Normally theworst case maximum RASR is a key indicator forperformance evaluation.Lr() Lr() Lr()The corresponding SNR performance compa-rison, i.e. the normalized total SNR loss   fur-ther counting the effect of the element-level an-tenna gain variation, is given in Fig. 8. It isshown that the performance of the cascaded hy-brid DBF structures on the total SNR loss relative to the achievable optimum SNR is muchbetter and evenly distributed in the whole swaththan that of the ground DBF, especially at theswath borders, there is 6.6 dB SNR improvementfor DPSS hybrid networks and about 3.6 dB im-provement for that of ESLC. From this point, theSNR-preferred DPSS is recommendable. At theswath center, the value of   is slightly better -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-40-30-20-100Off-boresight angle (°)DPSS ESLCSP1SP2SP3SP4Rx sub-array gain (dB) t=cFig. 5  The array patterns of onboard Type-A beamforming atinstantaneous time  (a) Global drawing024Rx gain (dB)SP4SP2SP3SP1-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0Intra-subpulse time (×10-5 s)(b) Partial enlarged drawing-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0-0.0100.010.02Rx gain (dB)Intra-subpulse time (×10-5 s)SP1SP4SP2SP3 (0)m(t)Fig. 6  Amplitude of the distortion functions   in the extent of each of 4 subpulsesNo. 5 HE  Feng et al.: Performance Investigation on Elevation Cascaded Digital Beamforming for ... 847for the ground DBF, it is reasonable, since for astaring illumination of each subaperture orientedto the swath center, a target at the swath centerwill get a invariable peak receive gain for eachtransmit subpulse in each subaperture.From the Fig. 3 in Ref. [8], it is found thatwith as many as 10 channels using the groundDBF, the swath-average RASR value is about51 dB and the worst-case value is about 40 dB,at the meantime, the SNR drop is about 2.5 dBat swath border in Fig. 4 of Ref. [8]. Comparedwith the results in Fig. 7 and Fig. 8, it is easilyfound that by employing the onboard time-vari-ant beamforming, with 6 onboard output chan-nels, the cascaded hybrid DBF networks canachieve satisfactory performance on range ambi-guity suppression which approximates that of theground DBF with as many as 10 channels, andeven have more excellent performance on SNRpreserving at swath borders.t=cNext, the Type-B hybrid DBF networks inSection 3.2.3 further exploring subpulse time-fre-quency structure information are investigated in asimilar way. The array spatial patterns of the on-board LCMV-MDR beamformer and MSNRbeamformer at time   on carrier frequencyare shown in Fig. 9. It should be noted that dueto the linear frequency-dependent phase shifts in-troduced to signal paths within each subaperture priorto the followed weighted summation, echoes ofthe multiple transmit subpulses are given theore-tically individual frequency-invariant gains, not-withstanding the uncompressed pulse extensionand the time-variant array weighting. Thereforeas shown in Fig. 9, each subpulse can be mappedinto a given point on the abscissa axis, which isindicated by a vertical dashed line, not a verticalbar in Fig. 5 as a contrast. However, though intheory each subpulse can get a constant gainwithout PEL, it is not true that all subpulses canget the maximum peak gain of the array patternjust like the single-chirped-pulse case employingSCORE technique[15], due to the more complexinter-pulse chirped-subpulse structure.In Fig. 10 and Fig. 11, performance comparis-ons on RASR and SNR between the hybrid Type-B DBF networks and the a posteriori DBF[8] aregiven, respectively. It is interesting to find muchlikeness between the results of Type-B DBF (Fig. 10,Fig. 11) and Type-A DBF (Fig. 7, Fig. 8). So it isessential to give an across comparison betweenthe onboard signal-structure-dependent beam-formers (Type-B) and the non-signal-dependentones (Type-A). For both types, according to the 5.65 5.70 5.75 5.80 5.85 5.90-60-55-50-45-40-35-30Delay (ms)RASR (dB)Mere GRD-BF MRASR=-30.4 dBMSNR MRASR=-37.7 dBLCMV-MDR MRASR=-34.5 dB Fig. 10  Performance comparison on RASR between the cas-caded hybrid Type-B DBF networks and ground DBF in Ref. [8] 5.65 5.70 5.75 5.80 5.85 5.90-60-55-50-45-40-35-30Delay (ms)RASR (dB)Mere GRD-BF MRASR=-30.4 dBSCAN-DPSS MRASR=-38.1 dBSCAN-ESLC MRASR=-34.9 dB Fig. 7  Performance comparison on RASR between the cascadedhybrid Type-A DBF networks and ground DBF in Ref. [8] 5.65 5.70 5.75 5.80 5.85 5.90Delay (ms)-7-6-5-4-3-2-10Lr (dB)Mere GRD-BFSCAN-DPSSSCAN-ESLC Fig. 8  Performance comparison on SNR between the cascadedhybrid Type-A DBF networks and ground DBF in Ref. [8] MSNR LCMV-MDR-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-45-35-25-15-55Off-boresight angle (°)Rx Sub-array gain (dB)SP1SP2SP3SP4 t=cFig. 9  The array patterns of onboard Type-B beamforming atinstantaneous time 848 Journal of Radars Vol. 9given optimization objectives, there are two cat-egories of beamformers: SNR-preserving-preferredcategory (DPSS in Type-A, MSNR in Type-B)and distortionless-response-preferred category(ESLC in Type-A, LCMV-MDR in Type-B). Compari-son results of these two categories are given in Fig. 12.From Fig 12(a), it is found that with regard tothe performance on RASR, there is no significantdifference found if the transmit signal-structureinformation is used or not, either for SNR-pre-serving-preferred or distortionless-response-pre-ferred category. With regard to the performanceon SNR, however, there is a quite small advan-tage if the transmit signal-structure information isused, either for SNR-preserving-preferred or dis-tortionless-response-preferred category. There aretwo aspects to explain why there is no remark-able advantage when prior information of thechirped subpulse time-frequency structure is uti-lized. The first aspect is that four-subpulses struc-ture is complex enough, which prohibits all sub-pulses sharing the maximum peak gain of the ar-ray pattern like the SCORE case[22]; The secondaspect is that the total and subaperture height isproperly designed according to the multiple inher-ent constraints given in Ref. [8].d0 =2:5 Lr()At the second simulation stage, more practi-cal considerations are included. First, the practic-al case when the antenna element spacing is lar-ger than half of the wavelength is considered. Thenumber of antenna element in elevation is re-duced to 30, accordingly the antenna element spa-cing is increased to  . With the new ele-ment spacing, the performance on RASR andSNR for the Type-A DPSS and Type-B MSNRbeamformers are shown in Fig. 13, both of whichare SNR preferred. Its found that the RASR va-lues near the swath center deteriorate in some de-gree with the much larger element size, however,the deterioration of the average RASR in thewhole swath or the worst RASR in the swath bor-der is not significant. With regard to the perform-ance on SNR, since the total SNR loss   hasaccounted for the array element pattern, with alarger element size, there are inevitable deteriora-tion at swath borders. In the given situation, themaximum deterioration is about 0.2 dB, which isacceptable under many circumstances.L0 =30Next, besides the more practical elementssize, the DOA mismatch condition in the pre-sence of non-negligible topographic height error isfurther investigated. This time, a performancecomparison between the cascaded hybrid DBFnetworks and the onboard real-time null-steeringDBF[7] is given under the above condition. Theechoes received by   elevation antenna ele-ments, with additive thermal noise (Array SNR=5 dB, cf. Refs. [23,26]) are simulated in accord-ance with the signal model given by Eq. (10),with the homogeneous white reflectivity assump-tion. On the satellite, for the hybrid DBF net-works the SNR-preferred Type-A scanning beam- 5.65 5.70 5.75 5.80 5.85 5.90Delay (ms)-8-7-6-5-4-3-2-10Lr (dB)Mere GRD-BFMSNR LCMV-MDR  Fig. 11  Performance comparison on SNR between the cascadedhybrid Type-B DBF networks and ground DBF in Ref. [8] (a) RASR comparison 5.65 5.70 5.75 5.80 5.85 5.90-60-55-50-45-40-35-30Delay (ms)RASR (dB)Type-B, SNR-PrefType-A, DR-PrefType-B, DR-PrefType-A, SNR-Pref(b) SNR comparison5.65 5.70 5.75 5.80 5.85 5.90Delay (ms)Type-B, SNR-PrefType-A, DR-PrefType-B, DR-PrefType-A, SNR-Pref-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.5Lr (dB) Fig. 12  Across comparison of performance on RASR and SNR between the onboard transmit signal-structure-dependent beamformers(Type-B) and the non-signal-dependent ones (Type-A)No. 5 HE  Feng et al.: Performance Investigation on Elevation Cascaded Digital Beamforming for ... 849wDPSS(t) h=250mformer, i.e.   is employed as representat-ive, with the deterministic DOA information cal-culated according to the default earth model(with a deviation of  ); For the on-board real-time null-steering DBF[7], the same de-terministic mismatched DOA information is used.On the ground, for the hybrid DBF networks, thedata-dependent adaptive beamformer presented inSection 3.3.2 is employed. In order to provide thereference theoretic optimum performance, a cas-caded DBF networks employing ground quiescentbeamforming using true topographic height in-formation are also investigated.The final performance of the data-dependentcascaded DBF networks at 32 evenly distributedpositions across the swath are simulated and eva-luated, the corresponding results are shown in Fig. 14with diamond markers, in comparison with itstheoretic performance curves, also with the per-formance curves calculated for the onboard ANSDBF[7]. It is found that under the DOA mis-match condition in the presence of topographicheight error, the performance of onboard ANSDBF employing deterministic real-time beam-former degrade, especially in the aspect of rangeambiguity suppression, an average RASR degra-dation as large as 23 dB is found. Nevertheless,by employing the hybrid DBF adding data-de-pendent a posteriori beamforming on the ground,although there are positions where observable de-gradations on RASR and SNR loss occur in con-trast to the theoretic optimum performance un-der accurate DOA information, the full-swath per-formance as a whole does not deviate much.6    Conclusions & DiscussionAn important issue in a MWE-SAR system isthe fulfillment of DBF on receive in elevation fora reliable separation of the mutually temporaloverlapped echoes from multiple different trans-mit subpulses. In this paper, the performance of aseparation approach employing hybrid DBF inelevation by combining the onboard real-timebeamsteering and a posteriori DBF on the groundis elaborately investigated. From theoretical ana-lysis and simulation, it is found that in compari-son with the onboard real-time deterministicDBF[6,7], the employment of the hybrid DBF net-works can avoid the topographic height vari-ation problem under model mismatch conditions (a) RASR comparison 5.65 5.70 5.75 5.80 5.85 5.90-55-50-45-40Delay (ms)RASR (dB)Tp-A: DPSS (d0=2.5l) ARASR=-48.6 dBTp-A: DPSS (d0=0.5l) ARASR=-49.3 dBTp-B: MSNR (d0=2.5l) ARASR=-48.3 dBTp-B: MSNR (d0=0.5l) ARASR=-49.1 dB(b) SNR comparison5.65 5.70 5.75 5.80 5.85 5.90Delay (ms)-1.4-1.3-1.2-1.1-1.0-0.9-0.8-0.7Lr (dB)Tp-A: DPSS (d0=2.5l)Tp-A: DPSS (d0=0.5l)Tp-B: MSNR (d0=2.5l)Tp-B: MSNR (d0=0.5l) Fig. 13  Performance on RASR and SNR for Type-A and Type-B SNR-preferred beamformers with an increased element spacing (a) RASR comparison5.65 5.70 5.75 5.80 5.85 5.90-60-55-50-45-40-35-30-25- 20Delay (ms)RASR (dB)Quiescent weighting with accurate DOA ARASR=-48.4 dBMere RT-ANS with DOA mismatch ARASR=-25.4 dBAdaptive weighting with DOA mismatch ARASR=-48.1 dB(b) SNR comparison5.65 5.70 5.75 5.80 5.85 5.90Delay (ms)-1.5-1.4-1.3-1.2-1.1-1.0- 0.9Lr (dB)Quiescent weighting with accurate DOAMere RT-ANS with DOA mismatchAdaptive weighting with DOA mismatch Fig. 14  Performance on RASR and SNR of the cascaded DBF networks under the DOA mismatch condition in the presenceof topographic height error, in comparison with the onboard real-time null-steering DBF in Ref. [7]850 Journal of Radars Vol. 9in the presence of topographic height variations,at the price of a small increase of the output datavolume (in the present example, corresponding tothe increase of the output channel number from 4to 6). In comparison with the a posteriori DBF onthe ground[8], employing the hybrid DBF net-works can get similar (or even better) satisfac-tory performance while remarkably reducing theoutput data volume (in the present example, cor-responding to the decrease of the output channelnumber from 10 to 6). It then can be concludedthat the hybrid DBF approach can provide addi-tional dimension of the trade-space to optimizethe performance on SNR & RASR, as well as re-duce onboard data volume.It is also found that by making use of thetransmit signal-structure information (Type-Bnetworks), there indeed exists extra advantagewith regard to the performance on SNR pre-serving, although this advantage may be ratherlimited in practical situations. It should be notedthat due to the time-variant onboard beamfor-ming, in either case of the Type-A or Type-B on-board DBF Networks, the signal distortion inrange dimension exists. Although the distortioncan be sufficiently avoidable by introducing addi-tional constrains, a price of considerable signalgain loss has to be paid, for either the Type-A orType-B Networks. Theoretically, the intra-sub-pulse distortion caused by the real-time PEL ef-fect for Type-B DBF Networks is mitigated by in-troducing time delay and forming desired fre-quency dispersion. However, extra embedded real-time FIR filtering for each input data channel isessential, which will increase the onboard digitalresources requirement.Appendix Ap0() pcomp()=pPTBsinc(πKrT) PTB=jKrjT2p1/(KrTp)(k)m()0After range compression on the ground, as de-rived in Ref. [8],   in Eq. (7) is replaced by thecompressed version: (  is the time-bandwidth product ofthe chirped subpulse), the pulse extent is com-pressed to only one range resolution bin  ,so the approximation   is valid andthe following equation can be deriveds(k)comp;m;ln(t)=exp[j2(lN+n)πfc(k)m(t)]s(k)comp;m(t)=exp[j2nπfc(k)m(t)]s(k)comp;m;l0(t)(A-1)s(k)comp;m;ln(t) s(k)comp;m(t) s(k)m;ln(t)s(k)m(t) Xcomp;sub_l(t) xl0(t);xl1(t);···;xl(N 1)(t)where   and   are the rangecompressed version of   and  , respe-ctively. Then, the full form of the received signalvector   comprising N-element echoes within the subaperture lcan be written in matrix form as[8]Xcomp;sub_l(t)=1 k= 1A(k)(t)s(k)comp;sub_l(t) (A-2)s(k)comp;sub_l(t)=[s(k)comp; M 12;l0;···;s(k)comp;m;l0;···; s(k)comp;M 12;l0]T[]TA(k)NMwhere , which is comprised of echoes re-ceived by the reference element in each subaper-ture from the multiple transmit waveforms, denotes matrix transpose.   is the steering matrix consisting of M subpulse-centredsteering vectorsA(k)(t)=[a(k) M 12(t) ··· a(k)m(t) ··· a(k)M 12(t)](A-3)a(k)m(t)= [1 ej2πfc(k)m(t)··· ej2πfc(N 1)(k)m(t)]T(A-4) A(k)(t) can be further expressed asA(k)(t)=(t)A(k)(c)=(t)A(k)(A-5)(t) =[1 0ej2πfc[(k)m(t) (k)m(c)]:::0 ej2π(N 1)fc[(k)m(t) (k)m(c)]][1 0ej2πfb(t c):::0 ej2π(N 1)fb(t c)](A-6)wherefb =d0c@sin[
=cfc(A-7)It should be noted that in the expression fol-lowing the squiggly equals sign in Eq. (A-6), weuse the linear relationship between the off-boresight angle and echo delay at the swath cen-ter[68,22] implied in Eq. (A-7). It is pointed out inNo. 5 HE  Feng et al.: Performance Investigation on Elevation Cascaded Digital Beamforming for ... 851Ref. [5] that this approximation is effective forazimuth MWE SAR investigated in this paper,which is normally with a single swath. However,for elevation MWE SAR with multiple sub swathsdiscussed in ref.[5], this approximation may be in-valid. In order to solve the multiple subswathproblem, in Ref. [5] a spectrum-segment-basedDSBF (digital scalloped beamforming) and adapt-ive multiple null-steering method is proposed. Inthis paper, for azimuth MWE SAR, we introducetwo types of onboard digital beamformers (Type-A and Type-B) in the Section 3.2, and it will befound that Type-B beamformer will use the ap-proximation in Eq. (A-7).Appendix BThe generalized subaperture directivitydefined on an angular extent rather than an angu-lar point can be written asD 0=0  0jB( )j2d ′∫π πjB( )j2d = wHRT; cQ 0 wRT; c wHRT; cQπ wRT; c(B-1) [  0; 0] [ π;π]  wRTQ 0It is found that maximizing the generalizedsubaperture directivity is equivalent to maximi-zing the proportion of the power pattern in theregion   and the whole unambiguous re-gion  . Eq. (B-1) has a form of the general-ized Rayleigh quotient. According to Rayleigh-Ritz theorem[28], the optimum   that maxim-izes Eq. (B-1) is the eigenvector of the matrix corresponding to the maximum eigenvalue: wRT= wDPSS=[  wDPSS;0;  wDPSS;1;···;  wDPSS;L 1]TIs(  c)(B-2)N 1l1=0sin[(l1 l2) 0]l1 l2 wDPSS;l1=which fulfills π wDPSS;l2l2,  =0, 1, ···, N1, and classified as thefirst-order Discrete Prolate Spheroidal Serial(DPSS)[26].Appendix CLike what done in Appendix B, we can de-rive a weighting vector to relax the distortionlessdemand but prefer SNR performance. The opti-mization criteria is to maximize SNR under multi-component condition. According to the signalmodel Eq. (34), the SNR is given by(SN)sub=wHRT(t)RsubXs(t)wRT(t)2noisewHRT(t)wRT(t)(C-1)RsubXs(t)=A(0)(t)Rsubs(t)A(0)H(t) (C-2) Rsubs(t)s(0)sub_l(t)wHRT(t)where   is the correlation matrix of the de-sired signal vector  , which has a form ofdiagonal matrix as derived in detail in AppendixD. According to Rayleigh-Ritz theorem[28], the op-timum   that maximizes Eq. (C-1) can berepresented bywHRT(t)=wHMSNR(t)=cHmaxA(0)H wHMSNRH(t)(C-3) cHmaxRsubs(A(0)HA(0)) wHMSNR=wHMSNR(c)where   is the eigenvector of the matrix corresponding to the maximumeigenvalue, and  .Appendix Dg(k)m() s(k)m(t) s(k)m(t)In this appendix, the cross-correlation ofechoes from different subpulses/waveforms andPRIs is derived, for convenience, the reference-channel echo form is used. In order to give a ge-neral derivation, a general multi-transmit wave-form scheme (cf. Eq. (3a)), rather than the specif-ic time-shifted chirped subpulses, is used at thebeginning. According to Eq. (4) and the defini-tion of   in Ref. [8], the cross-correlation of and   received by the reference ele-ment can be expressed byE[s(k)m(t)s(k)m(t)]=1111E[g(k)m(t 1 kTr)g(k)m(t 2 kTr)]pm(1)pm(2)d1d2=(kk)(mm;0)E01 1h(k)(t )pm()pm()d (D-1)whereh(k)(t)=jaT;m(t kTr)j2jaR;d0(t kTr)j2(t kTr)3sin[(t kTr)](D-2)aT;m() aR;d0()= t kTr() E0is a slow-variant weighting function[11]which is de-pendent on the transmit and receive antenna pat-tern   and  , round-trip delay , and the incidence angel  .   is a852 Journal of Radars Vol. 9(mm;kk)2[0; 1] (mm;kk)0 m̸=mconstant, and  , describesthe decorrelation caused by the variation of the il-luminated patch with different transmit wave-forms and PRIs. For the multi-beam mode con-cerned in this paper,   if, since each subbeam covers its individualportion of the full illuminated azimuth footprint.m̸=mpm() pm() (mm;0) E[s(k)m(t)s(k)m(t)]= 0 m̸=mm=mE[s(k)m(t)s(k)m(t)]When  , it is known from Ref. [11] thatif the transmitted waveforms   and fulfill the short-term shift orthogonality condition,the integral value in the last row of Eq. (D-1) isequal to zero (cf. Eq. (4) and Eq. (7) in Ref. [8]).In particular, for the multi-beam mode employ-ing the time-shifted subpulse scheme, both and the integral value is zero, so itcan be concluded that   if. When  ,   can thenbe given byE[s(k)m(t)s(k)m(t)]=(kk)E01 1h(k)(t ) jpm()j2d(kk)2(k)m(t)(D-3) 2(k)m (t)If the linear time-shifted subpulse is used, can be further evaluated by2(k)m(t) =E0Tp2 Tp2h(k)(t  mT)dE0Tph(k)(t mT) (D-4) h(k)(t)Note that the variation of   within asubpulse is ignored since it is a slow-variantweighting function.~s(k)m(t) ~s(k)m(t)In a very similar manner, the cross-correla-tion of echoes from different waveforms and dif-ferent PRI after range focusing can also be given.If employing the time-shifted subpulse waveformscheme, the cross-correlation of range compressed and   can be expressed byE[~s(k)m(t)~ s(k)m(t)] =(kk)(mm)~ 2(k)m(t) (D-5) ~2(k)m (t)where   can be approximately evaluated ifthe range match filter is an ideal passive powerfilter~2(k)m(t) =E0PTBTp2PTB Tp2PTBh(k)(t mT )dE0Tph(k)(t mT)=2(k)m(t) (D-6)ReferencesMOREIRA A, PRATS-IRAOLA P, YOUNIS M, et al. Atutorial on synthetic aperture radar[J]. IEEE Geoscienceand Remote Sensing Magazine, 2013, 1(1): 643. doi: 10.1109/MGRS.2013.2248301.[1]KRIEGER  G,  GEBERT  N,  and  MOREIRA  A.Unambiguous SAR signal reconstruction from nonuniformdisplaced phase center sampling[J]. IEEE Geoscience andRemote Sensing 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Journal of Radars Vol. 9SUN Zaoyu was born in Hubei, China,in July 1978. He received the B.S. andPh.D. degrees in signal processing fromNational University of Defense Techno-logy, Changsha, in 2000 and 2008, re-spectively. He is currently a lecturerwith the College of Electronic Science and Technology,National University of Defense Technology. His researchinterests include SAR and InSAR processing.E-mail: sunzaoyu@nudt.edu.cnJIN Guanghu was born in Anhui,China, in February 1980. He receivedthe B.E., M.S. and Ph.D. degrees insignal processing from National Uni-versity of Defense Technology, Chang-sha, in 2002, 2004 and 2009 respect-ively. He is currently an associate professor with the Col-lege of Electronic Science and Technology, National Uni-versity of Defense Technology. His research interestsinclude Synthetic Aperture Radar (SAR), inverse SAR,and radar target recognition.E-mail: guanghujin@nudt.edu.cnDONG Zhen was born in Anhui,China, in September 1973. He receivedthe Ph.D. degree in electrical engineer-ing from National University of De-fense Technology, Changsha in 2001.He is currently a professor with theCollege of Electronic Science and Technology, NationalUniversity of Defense Technology. His recent research in-terests include SAR system design and processing, GroundMoving Target Indication (GMTI), and digital beamform-ing.E-mail: dongzhen@nudt.edu.cnNo. 5 HE  Feng et al.: Performance Investigation on Elevation Cascaded Digital Beamforming for ... 855