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基于仿真试验和 Kriging 模型的多目标优化问题全局优化算法
来源:一起赢论文网     日期:2018-05-08     浏览数:678     【 字体:

  2  0 引言 随着高精度数值计算技术(如计算流体力学、有限元分析等)的发展,计算机仿真成为改善复杂工程系统设计可信度、提高设计质量的新途径[1]。然而,现有的仿真优化方法常常需要很强的理论假设(如有限差分、扰动分析等基于梯度的方法)或大量的仿真运算(如遗传算法、模拟退火算法等启发式方法),难以满足基于昂贵仿真的系统优化的需要[2]。此时,更有效的做法是先用少量仿真试验建立仿真模型的近似模型——元模型(也称为代理模型),再用元模型指导后续的优化过程,这通常能大大降低复杂系统优化设计的成本[3]Kriging是一种基于高斯过程理论的元建模技术,与多项式响应曲面、人工神经网络、径向基函数等元模型相比,它不仅提供未试验点上仿真响应的预测值,还能给出预测不确定性的度量,非常适于求解黑箱问题的全局最优解[4]。全局优化算法以优化目标为导向,利用构造的加点准则(infill sampling criterion)序贯选取直接逼近优化问题全局最优解的新试验点,具有很高的求解效率和精度[5]。自从Jones等开创性地提出基于Kriging模型和期望改进(expected improvement)准则的有效全局优化(Efficient Global OptimizationEGO)算法[6]Kriging模型及全局优化思想在单目标仿真优化问题中取得了巨大成功[7-8]。然而,现实中的工程优化问题大多包含多个相互冲突的优化目标且受到复杂约束的限制,求解多目标优化问题(Multi-objective Optimization ProblemsMOPs)的一组有代表性的Pareto最优解集(Pareto setPS)具有十分重要的意义[9]。 多目标进化算法是求解多目标优化问题的主流方法之一,也是进化算法领域研究的热点[10-11],但其优化过程需要大量的函数计算,在基于昂贵仿真的多目标优化问题中收敛速度慢[12]。为此,将基于Kriging模型的全局优化思想推广到多目标优化问题,受到学者的广泛关注和重视。起初,学者通常采用归一化方法(scalaring method)将多目标问题转化为一系列单目标问题,再利用EGO算法进行求解[13-14];但这样做并不能保证求得的近似PS的收敛性,且需要不断变换归一化过程中的权值,计算量很大[15]。随后,学者尝试构造能直接改进近似PS质量的加点准则。文献[16]证明了超体积(hyper-volume)指标在度量Pareto“改进”时的多个优良性质,提出了期望超体积改进(Expected Hyper-volume ImprovementEHI)准则。文献[17]则给出了EHI准则的一种快速计算方法,并通过与经典多目标进化算法做比较,验证了EHI准则在求解非约束多目标优化问题时的有效性。针对黑箱约束,概率方法被认为是较惩罚函数法更有效的约束条件应对策略[18]。文献[19]EHI与可行性概率(Probability of FeasibilityPo F)的乘积作为加点准则,以使新试验点在改进近似PS的同时又尽可能是可行的;但该准则受Po F的影响大,倾向在可行域内部选取新试验点,收敛到可行域边界上最优 3  解(集)的效率不高。国内学者对基于元模型的全局多目标优化算法的研究还较少,通常的以单次试验建立Kriging模型[20]或只用序贯试验技术提高Kriging模型整体精度[21]的优化策略,缺少探索潜在最优区域的主动性,常使许多试验点落于可行域外,利用昂贵仿真试验的效率低[22]。 本文以优化目标为导向,利用Kriging模型设计探索优化问题可行域和逼近真实PS的加点准则。设计的约束条件应对策略综合考虑试验点的Po F、间隔距离和Kriging模型的不确定性,对可行域由多个非连通区域组成的情形亦能有效辨识出全部可行子区域;近似PS改进准则,兼顾提高近似PS质量和精确刻画最优解附近的可行域边界,只需少量仿真试验就能得到优化问题的高精度近似Pareto解集。 1 多目标优化问题与 Kriging 模型 1.1  多目标优化问题的数学描述 不失一般性,一个包含 m 个目标函数和 r 个约束函数的多目标优化问题可以定义为                               1min : ( ) ( ( ), , ( )),. . ( ) 0, 1, , ,,mif fs t g i rxf x x xxxLL   = :    £  =          Î X                         (1) 式中: m >1dx Î XÌ R 为 d 维设计变量, f(x) 为目标函数向量, ( )ig x 表示第 i 个约束函数。多目标优化问题的优化目标之间往往是相互冲突的,没有绝对的最优解,而是存在一组基于 Pareto支配的折衷解[9]。 定义 1  Pareto 支配。假设 x 是多目标问题(1)的两个可行解,称 x 支配 (记作 x p)当且仅当: {1, , }, ( ) ( ) ( ) ( )i i"i LmÎ f xf x¢£ Ùf x ¹f x¢ 。 定义 2  Pareto 最优解集 如果可行解 x 不被其他任何可行解支配,则称 x Pareto 最优解(Pareto optimal solution);所有 Pareto 最优解组成的集合,称为 Pareto 最优解集(Pareto setPS)。 定义 3  Pareto 前沿。所有 Pareto 最优解经过目标函数在目标空间上的映射,称为 Pareto 前沿(Pareto frontPF),即 PF ={f(x) | x ÎPS}。 本文假定优化问题(1)中的目标函数和约束函数都是黑箱函数,只能通过昂贵仿真获得其响应值;此时,通常引入 Kriging 模型以降低仿真优化过程的成本。 1.2 Kriging 模型 Kriging模型由一个参数回归模型和一个非参数随机函数构成,通过随机函数协方差的变化来反基于仿真试验和 Kriging 模型的多目标优化问题全局优化算法1 张建侠,马义中+,朱连燕,韩云霞 (南京理工大学  经济管理学院,江苏  南京  210094) 摘要:针对复杂工程系统的多目标仿真优化问题,提出一种基于 Kriging 模型的将优化过程与试验过程相结合的全局多目标优化算法。该算法利用构造的加点准则序贯选取能应对约束和逼近真实 Pareto 解集的试验点,只需少量仿真试验就能得到优化问题的高精度Pareto 解集。考虑试验点的可行性概率、间隔距离和 Kriging 模型的不确定性,设计亦能有效辨识非连通可行域的加点准则;提出以最大化试验点的期望超体积改进和可行性概率为目标的近似 Pareto 解集改进准则,使新试验点兼顾改进近似 Pareto 解集的质量和精确刻画可行域边界。通过 3 个数值算例将所提算法与已有算法做比较,计算结果验证了所提算法的有效性和高效性。 关键词:约束多目标优化;Kriging 模型;Pareto 前沿;全局优化;期望超体积改进;可行性概率  中图分类号:N945.15O212.6               文献标识码:A Global optimization of multi-objective optimization problems based on simulation trials and Kriging models ZHANG JianxiaMA Yizhong+ZHU LianyanHAN Yunxia (1. School of Economics and ManagementNanjing University of Science and TechnologyNanjing 210094China) AbstractTo  solve  constrained  multi-objective  simulation  optimization  problems  of  complex engineering  systemsa  global  multi-objective  optimization  algorithm  is  proposed  based  on Kriging modelscombining optimization process with trial process.This algorithm uses proposed infill sampling criteria to sequentially add new trials to handle constraints and to approximate true Pareto sets of the problemsand this characteristic makes the algorithm find high-quality Pareto sets in very limited trials.Combined the probability of feasibility of trial points and the distances between  them  and  the  prediction  uncertainty  of  Kriging  modelsone  infill  sampling  strategy  is designed  firstly  to  explore  feasible  regions  which  is  also  effective  when  the  feasible  regions  are disconnected. Thenan infill sampling criterion maximizing expected hyper-volume improvement and probability of feasibility simultaneously is proposedso as to balance improvement of the Pareto sets with  confirming  the  boundaries  of  feasible  regions.The  proposed  algorithm  is  tested  on  three typical benchmarks and compared with other algorithmsand the numerical results indicate that the proposed algorithm is very effective and efficient. Keywordsconstrained  multi-objective  optimizationKriging  modelsPareto  frontglobal optimizationexpected hyper-volume improvementprobability of feasibility                                                           收稿日期:2016-12-11;修订日期:2017-03-30Received 11 Dec.2016accepted 30 Mar.2017. 基金项目:国家自然科学基金资助项目(7147108871371099);中央高校基本科研业务专项资金资助项目( 3091511102 ) 。 Foundation  items:Project  supported  by  the  National  Natural  Science  Foundation China(No.7147108871371099)and the Fundamental Research Funds for the Central UniversitiesChinaNo.3091511102.  5  新试验点cx 的响应值 ( )cf x 对现有 PF 的超体积的改进,称为超体积改进( hyper-volume improvementHI), ( ( ), ) ( , ) ( ) ,( ( ), PF, )0 .c ccH HHIìïÈ -        =íï                                                             ïîPF f x r PF r f x PFf x r当其他p           (5) 当各目标函数被 Kriging 模型替代后,目标函数向量在未试验点 x 处的预测均值与协方差可由式(3)给出,即2ˆ ˆˆ( ) N( ( ), ( ))f ff x : mx sx 。此时,新试验点 x 带来的期望的超体积改进(EHI[16]可定义为 ˆˆ ˆ ˆEHI( ,PF, ) HI( ( ), , ) ( )d,xfx r f x PF r ff fÎ= ò⋅B                    (6) 式中:ˆ( )xff 是目标函数 Kriging 模型的联合概率密度函数,mBÌ R 是由参考点r 界定的非支配域。EHI 取值越大,说明新试验点 x 对现有近似 PF 的改进也越大。 2.1.2 可行性概率 考虑问题(1)中约束条件的影响,令G ={x Î X| g(x) £0}表示可行域,则新试验点 x 带来的可行超体积改进可描述为 ( ) 0( , PF, ) 1 ( ( ), PF, )( ( ), PF, ) ( ) ,,I HIHI G£  = ìï       Î                   =íï 0                                                   ïîg xx r f x rf x r x f x PF其他p               (7) 式中( ) 01g x £是示性函数,表示试验点 x 是否落入可行域。若假定目标和约束函数(f,g)是相互独立的且已由 Kriging 模型ˆ(f,ˆg) 替代,则新试验点 x 带来的期望的可行超体积改进可表示为 ˆ ( ) 0( ,PF, ) (1 ( ( ),PF, ))(ˆ ( ) 0) ( ,PF, ),EI E HIP EHIg xx r f x rg x x r£= ⋅                   = £ ⋅                    (8) 式中 P(ˆg(x) £0) 表示由 Kriging 模型估计的试验点 x 落入可行域的概率,称为可行性概率(Po F[17]。如果假设各约束函数也相互独立,则此概率还可表示为: ˆ1 ˆ( )( ) (ˆ ( ) 0) ,( )iirgi gPo F Pxx g xxms=æ öç÷= £ = Fç-÷ç÷÷çè øÕ                     (9) 式中F() 为标准正态分布的累积分布函数,ˆigm 和ˆigs 分别为第i 个约束函数 Kriging 模型的预测均值和标准差。 本文假定优化问题(1)中的目标函数和约束函数都是相互独立的,这是因为:在黑箱系统优化 4  映仿真模型 y(x) 的空间变化,即 1ˆ ( ) ( ) ( ) ( ),ki iiy xY x bf xZ x== = å+                        2) 式中:1 2( ), ( ), , ( )kf xf x Lf x 为已知的回归函数,1 2( , , , )Tkβ =b bL b 为未知的回归系数向量;Z(x)为一个平稳高斯随机过程,其均值为零,协方差矩阵为2( ( ), ( )) ( , , )i j z i jCov Z xZ x =sR x x θ ,其中2zs Z(x) 的方差, ( , , )i jR x x θ 为以 θ 为未知参数向量的相关函数,表示试验点ix jx 之间的空间相关关系。 给定 n 个试验点1 2, , ,nx x Lx 及对应的响应值1 2( , , , )TnY =y y Ly ,则未观测点 x 处响应的Kriging模型的预测均值 ˆy(x) 和方差2ˆs(ˆy(x)) 可由以下公式给出:                      12 2 1 1 1ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( ),ˆ (ˆ( )) (1 ( ) ( ) ( ) ),T TT T Tzys yx f x β r x R Y Fβx sr x R r x h F R F h-- - -= + -= - +             3) 式中:1( ) ( ( ), , ( ))Tkf x =f x Lf x 1( ( ), , ( ))TnF =f x Lf x 1( ) ( ( , ), , ( , ))Tnr x =R x x LR x x ( ( , ))i jR =R x x ,ˆ1 1 1( )T Tβ F R F F R Y- - -= 是β 的广义最小二乘估计,1( ( ) ( ))Th f x F R r x-= - 。有关式(3)中的相关函数 ( , , )i jR x x θ 选择及参数估计的更多介绍,可参考文献[23]。本文选取常用的Gaussian函数作为相关函数,用R软件的“Dice Kriging”程序包[24]执行Kriging模型。 2 基于 Kriging 模型的全局约束多目标优化算法 本文提出的全局约束多目标优化算法(global constrained multi-objective optimization algorithmGCMOA)的核心是构造辨识可行域和逼近真实 PS 的加点准则。为此,首先介绍期望超体积改进和可行性概率的概念。 2.1 期望超体积改进与可行性概率 2.1.1 期望超体积改进 超体积是指目标空间中由近似 PF 和参考点 r 所围成的超立方体的体积,是一种解集质量综合评价指标[16](PF, ) ( | ),mH r =Vol f Î RPF pf pr                       4) 其取值越大越好;对参考点 r ,本文取各目标函数在初始试验点集上的最大值作为 r 的相应分量。 7  1 基于Kriging模型的GCMOA算法的流程 2.2.1 辨识可行域 若初始试验设计 X 中不含可行试验点,则用以下准则添加一个可行试验点: 1( ) (ˆ ( ) 0),rpof iiC xP g x==Õ£                          10) 式中 (ˆ ( ) 0)iP g x £ 是由 Kriging 模型 ˆig 估计的试验点 x Po F。当试验设计中有了可行试验点,用以下包含了距离项的加点准则选取新试验点,探索优化问题的全部可行性区域: ˆ1( ) ( ( )) ( ) (ˆ ( ) 0),irqfea g iiC xD x sxP g x== ⋅Õ⋅ £                  11) 式中ˆ( )igsx Kriging 模型 ˆig 的预测标准差,| |( ) minfeafeaDdxx xxæ -öç÷= ç÷ç÷è ø表示 x 离最近可行试验点的距离, q ³0 是由用户指定的用以控制 ( )feaC x 探索能力的参数( q 取值越大 ( )feaC x 的探索能力也越强)。由式(11)可以看出,准则 ( )feaC x 倾向于在 Po F 大、Kriging 模型 ˆig 不确定性大和远离现有可行试验点的区域选取新试验点,特别适于探索由多个非连通子区域组成的可行域,具体过程如下:  算法 2  辨识可行域、得到初始可行试验点集。 步骤 1  判断可行性:利用约束函数的 Kriging 模型 ˆig 判断初始设计 X 中试验点的可行性,令feaX ÌX 表示可行试验点集, t feat 分别表示现有的和生成初始 PF 所需要的可行试验点的数量; 步骤 2  添加可行试验点:若t =0 ,则选取 arg max ( ( ))pof pofCxx xÎ=X,更新pofX =X Èx pofW =W Èw Kriging 模型和feaX ; 步骤 3  辨识可行区域:若1fea£t <t ,则序贯地选取 arg max ( ( ))fea feaCxx xÎ=X,更新feaX =X Èx feaW =W Èw Kriging 模型和feaX ; 步骤 4  得到初始可行试验点集:利用 Kriging 模型 ˆig 判断试验点的可行性,得到初始可行试验点集feaX 2.2.2 改进近似 PF   6  中,黑箱函数间的相关关系难以确定;建立多个函数的联合 Kriging 模型,会使建模和参数求解过程变得非常复杂;联合 Kriging 模型在实践中未能有效提高模型的预测精度[25]2.2  全局约束多目标优化算法 提出的结合了 EHI Po F 概念的 GCMOA 算法的具体实施步骤如下: 算法 1  GCMOA 算法。 步 骤 1   试 验 设 计 : 利 用 拉 丁 超 立 方 抽 样 抽 取 样 本 容 量 为 k =5d 的 初 始 试 验 设 计1{ , , }kX =x Lx 。 步骤 2  系统仿真:仿真得到目标和约束函数在初始设计 X 上的响应值1{ , , }kW =w Lw ,其中 ( ( ), ( ))i i iw =f x g x 。 步骤 3  元建模:利用得到的试验数据 X W ,建立各目标和约束函数的初始 Kriging 模型。 步骤 4  辨识可行域:利用提出的可行域探索准则选取新试验点,更新试验数据 X W Kriging模型,得到探索可行域的初始可行试验点集直到其样本量满足要求(详见算法 2)。 步骤 5  改进近似 PF:由初始可行试验点集生成近似 PF,利用提出的 PF 改进准则添加新试验点,更新试验数据 X W Kriging 模型和可行试验点集,直到近似 PF 的质量满足要求或仿真预算用完(详见算法 3)。 GCMOA算法的基本流程如图1所示,其中算法的初始化较为简单,辨识可行域(生成初始可行解集)和改进近似PFGCMOA算法的核心。   8  文献[19]中的算法(在此称为 Martinez 算法)用 Po F HEI 的乘积(式(8))作为改进近似PF 的加点准则,但在使用中发现该准则受试验点 Po F 的影响大,使新试验点逼近可行域边界上最优解(集)的效率不高。为更好地平衡近似 PF 的改进和最优解附近可行域边界的精确刻画,本文提出将 EHI Po F 同时作为优化目标的近似 PF 改进准则                         ( ) max ( ( ) ( )),pfpf PC EHI Po Fxx x xÎ= ⋅                    (12) 式中 max ( ( ), ( ))pfP EHI Po Fxx xÎ=X,是在同时最大化 EHI Po F 时得到的备选试验点集。 算法 3  改进近似 PF。 步骤 1  生成初始近似 PF:由算法 2 得到的初始可行试验点集feaX 及其响应值生成初始近似PSnd feaX ÌX 和初始近似 PFndF ; 步骤 2   改进近似 PF:判断优化终止条件是否满足,若未满足,则以同时最大化 EHI Po F 为目标生成备选试验点集 max ( , )pfP EHI Po FxÎ=X;再从pfP 中选取使 EHI Po F 乘积最大的点pf pfx ÎP 作为新试验点,更新pfX =X Èx pfW =W Èw Kriging 模型、feaX ndX ndF ; 步骤 3   得到优化问题的 PFPS):由可行试验点集feaX 及其响应值确定最终的近似 PSndX PFndF 2.2.3 GCMOA 算法收敛性分析 GCMOA 算法中的可行域探索准则,首先判断始试验设计中是否包含可行试验点,若不含可行试验点,则用 ( )pofC x 准则在 Po F 最大的地方选取新试验点,能很快确定一个可行试验点。随后,为有效辨识可行域的所有可行子区域及其形状,利用 ( )feaC x 准则在 Po F 大、Kriging 模型 ˆig 不确定性大和远离已有可行试验点的区域添加新试验点:此准则既能开发 Po F 大的潜在可行区域,还能探索 Kriging 模型不确定性大的未知区域,更重要的是其中的距离项 ( ( ))qD x 能迫使新试验点远离现有的可行试验点,进而探索新的可行子区域且使试验点在可行域中分布均匀。 ( )feaC x 准则对可行域由多个非连通子区域组成的情形尤其有效。 对可行域有一定了解后,还希望新试验点能不断提高现有近似 PF 的质量。因为约束优化问题的最优解(集)往往位于可行域边界上,故加点准则还应具备精确刻画最优解附近可行域边界的能力。 9  为此,本文将 EHI Po F 分别为优化目标,再从备选试验点集 max ( ( ), ( ))pfP EHI Po Fxx xÎ=X中选取使 EHI(x)Po F(x) 最大的点作为新试验点。这样选取的试验点,兼顾提高近似 PF 的质量和改进 ˆig 在可行域边界上的精度,从而能有效提高算法的收敛效率和解集质量。以上对 GCMOA 算法的收敛性分析,在数值算例部分得到了验证。 3  数值算例与结果分析  下面选取 3 个不同类型的测试函数来验证 GCMOA 算法的有效性、高效性和通用性,并将优化结果与文献[19]中的 Martinez 算法和经典 NSGA-II 算法得到的结果进行比较。其中,测试函数 1 3 取自文献[26],测试函数 2 为自构造函数。 3.1  测试函数 在这里,函数 1 的可行域非凸且其 PF 不连续;函数 2 的可行域由非连通区域组成且可行域占搜索空间的比例很小;函数 3 则是一个包含 6 约束的 6 维复杂多目标问题。测试函数 1 2 将用于展示 GCMOA 算法的优化过程与有效性,函数 3 用于验证 GCMOA 算法的通用性。 表 1 约束多目标优化问题测试函数 MOOPs  变量取值范围  目标和约束函数 函数 1 TNK12[0, ][0, ]xxppÎÎ ( )1 12 22 21 1 2 1 22 22 1 2( )( )( ) 1 0.1cos 16 arctan 0( ) ( 0.5) ( 0.5) 0.5 0f xf xg x x x xg x xxxxx===- - + + £= - + - - £ 函数 2 (自构造) 12[ 5,10][0,15]xxÎ -Î 2 21 1 22 22 1 22 222 1 1 1( ) ( 10) ( 15) 10( ) ( 5) 105 5 1( ) ( 6) 10(1 ) cos( ) 7 048f x xf x xg x x x xxxxpp p= - + - += + + += - + - + - + £ 函数 3 OSY123456[0,10][0,10][1, 5][0, 6][1, 5][0,10]xxxxxxÎÎÎÎÎÎ 2 2 2 2 21 1 2 3 4 52 2 2 2 2 22 1 2 3 4 5 61 1 22 1 23 2 14 1 225 3 426 5 6( ) (25( 2) ( 2) ( 1) ( 4) ( 1) )( )2 06 02 03 2 0( 3) 4 04 ( 3) 0f x x x x xf x x x x x xg x xg x xg x xg x xg x xg x xxx=- - + - + - + - + -= + + + + += - - £= + - £= - - £= - - £= - + - £= - - - £ 11  GCMOA 算法求得的函数 1 2 的一组典型优化结果如图 2 和图 3 所示,其中由灰色小圆点构成的阴影区域表示可行域和对应的可行响应,蓝色上三角形表示初始试验点,红色圆点表示测试问题的真实 PS PF,白色菱形表示由 GCMOA 算法求得的近似 PS PF。由图可知,求得优化结果能很好的逼近真实的最优解集。  图 2 GCMOA 算法求得的函数 1 的近似 PS PF  3 GCMOA 算法求得的函数 2 的近似 PS PF 4 以优化函数 1 为例,展示了 GCMOA 算法的优化过程以验证其收敛性和加点准则的有效性。由图可知,提出的加点准则添加新试验点的目的性非常强,不但可以很好探测出优化问题的可行域,还可以使新试验点直接逼近优化问题的最优解(集),且极少在无效区域添加试验点;随着添加的试验点越来越多,相应的解集性能指标值(图中左下角)越来越小。函数 2 的序贯优化过程与此类似,不再给出。函数 2 的可行域由三个非连通区域组成,加点准则 ( )feaC x 中的距离项 ( ( ))qD x 对迫使准则探索新的可行子区域有重要作用:若不考虑试验点间的距离(取 q =0 ),在某些初始设计下,算法 2 找不到所有可行子区域;考虑并强调距离项(取 q =2 ),则算法 2 能有效辨识出所有可行子区域,如图 5 所示。图 5 左边部分表示 q =0 时用算法 2 添加 30 个试验点后的结果,未找到设计变量 12  空间左上角的可行子区域;取 q =2 ,准则 ( )feaC x 的探索能力变强,很容易就找到了所有可行子区域(添加了 20 个设计点,得到 10 个分布均匀的可行解)。函数 3 包含 6 个约束条件和 6 个设计变量,求解难度高,可用于验证 GCMOA 算法的通用性。用 Martinez GCMOA 算法分别求解函数 3,得到的一组典型优化结果如图 6 所示;此处用 NSGA-II 算法(种群大小为 200,进化代数为 500)求得的 PF 作为函数 3 的真实 PF,这是由于用细密网格点方法确定函数 3 真实 PF,需要的存储空间过大。  前 3 个小图形表示当试验点总数达到 T 时,由可行试验点确定的近似 PF(白色菱形),相应的近似 PF 的性能指标值列于图形左下角; 第 4 个小图展示 T=100 时序贯添加的试验点的分布情况,其中蓝色上三角表示初始试验点,紫色矩形表示在辨识可行域阶段添加的试验点,黑色菱形表示在改进近似 PF 时添加的试验点 图 4 GCMOA 算法求解函数 1 时的序贯加点过程  图 5 算法 2 辨识函数 2 可行域时距离项的作用  10  3.2  解集评价指标 为评估提出的 GCMOA 算法的性能及其收敛性,选取相对超体积(Relative  Hyper-VolumeRHV),Epsilon R2 评价指标从不同侧面定量评估求得的近似 PF 的质量[27]。为表述方便,用estPF表示由优化算法得到的近似 PFrefPF 表示优化问题真实的 PF(通过计算和比较测试函数在细密网格点上的响应值得到)。 RHV 描述的是estPF 的超体积相对于refPF 的超体积的偏差,即 ( )( ) 1 ,( )estestrefHV PFRHV PFHV PF= -                        13) 式中 HV 表示计算得到的超体积值。Epsilon 指标表示的是estPF refPF 之间的最大最小(maximin)距离,即 ( ) max min .refestest i iPFPFEps PF r ara¥ÎÎ= -                     14R2 指标可看作是estPF refPF 之间的平均距离,即 ( ) ( )12( ) min ( ) min ( ) ,ref estestPF PFR PF u ur ar al llÎ ÎÎLæ ö=ç -÷ç÷Lè øå                  15) 式中:u( )l⋅ 为效用函数,l 为权系数向量。 3.3  试验结果分析 为分析方便,本文首先对测试函数的设计变量进行标准化处理,使其变化范围在[0,1]区间,并以仿真试验总次数T 作为 GCMOA 算法的终止条件,对函数 12 3,分别取 1T =1002T =803T =150。算法 2 中控制参数featq ³0的选取,与试验者对可行域的认识有关:可行域边界越复杂、非连通子区域越多,feat的取值也应该越大,以大致确定出可行域的形状和生成初始近似 PF;非连通可行子区域越多,q取值也应越大,以提高准则探索新可行子区域的能力并迫使添加的试验点在可行域中分布均匀。为保证可行子区域中平均有 3 个以上的试验点、初始近似 PF 具有一定的代表性且不过度开发已确定出的可行区域,此处取10feat =;对函数 1 3(单连通可行域)取q =1,对函数 2(有 3 个非连通可行子区域)取q =2。 

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